Математический анализ Примеры

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + (\cos^{3} (x)) y = 1$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изменим порядок членов.

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos^{3} (x) = 1$

Этап 1.2

Вынесем множитель $y$ из $y \cos^{3} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + y (\cos^{3} (x)) = 1$

Этап 1.3

Изменим порядок $y$ и $\cos^{3} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{3} (x) y = 1$

Этап 1.4

Разделим каждый член $\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos^{3} (x) y = 1$ на $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $\cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos^{2} (x) \sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\sin (x)} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Этап 1.6.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{3} (x) y}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Этап 1.7

Сократим общий множитель $\cos^{3} (x)$ и $\cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем множитель $\cos^{2} (x)$ из $\cos^{3} (x) y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Этап 1.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Вынесем множитель $\cos^{2} (x)$ из $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) (\sin (x))} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Этап 1.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos^{2} (x) (\cos (x) y)}{\cos^{2} (x) \sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Этап 1.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x) y}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Этап 1.8

Вынесем множитель $y$ из $\frac{\cos (x) y}{\sin (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Этап 1.9

Изменим порядок $y$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} y = \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$e^{\int \cot (x) d x}$

Этап 2.2.2

Интеграл $\cot (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\ln (\sin (x))}$

Этап 2.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\sin (x)$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} y) = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\cot (x) y) = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Этап 3.2.2

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Изменим порядок $\sin (x)$ и $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cot (x) \sin (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Этап 3.2.2.2

Выразим $\sin (x) (\cot (x) y)$ через синусы и косинусы.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Этап 3.2.2.3

Сократим общие множители.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x) \sin (x)}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\sin (x) \cos^{2} (x)}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{1}{\sin (x) \cos^{2} (x)}$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.4

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.5

Перепишем $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 3.6

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sec^{2} (x)$

Этап 3.7

Изменим порядок множителей в $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sec^{2} (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = \sec^{2} (x)$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = \sec^{2} (x)$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\sin (x) y = \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 7

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$\sin (x) y = \tan (x) + C$

Этап 8

Разделим каждый член $\sin (x) y = \tan (x) + C$ на $\sin (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $\sin (x) y = \tan (x) + C$ на $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\tan (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$y = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.3.1.2

Перепишем $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}$ в виде произведения.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.3.1.3

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$y = \sec (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.3.2.2

Разделим дроби.

$y = \sec (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 8.3.2.3

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$y = \sec (x) + \frac{C}{1} \csc (x)$

Этап 8.3.2.4

Разделим $C$ на $1$ .

$y = \sec (x) + C \csc (x)$