Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} - y^{2} t = t$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $y^{2} t$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d t} = t + y^{2} t$

Этап 1.2

Вынесем множитель $t$ из $t + y^{2} t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d t} = t^{1} + y^{2} t$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $t$ из $t^{1}$ .

$\frac{d y}{d t} = t \cdot 1 + y^{2} t$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $t$ из $y^{2} t$ .

$\frac{d y}{d t} = t \cdot 1 + t y^{2}$

Этап 1.2.4

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot 1 + t y^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = t (1 + y^{2})$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{1 + y^{2}} (t (1 + y^{2}))$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $1 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $1 + y^{2}$ из $t (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) t)$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) t)$

Этап 1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d t} = t$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = t d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int t d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int t d t$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int t d t$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\arctan (y) = \frac{1}{2} t^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$y = \tan (\frac{1}{2} t^{2} + K)$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$y = \tan (\frac{t^{2}}{2} + K)$