Математический анализ Примеры

$y'''' = 2 t e^{- 6 y} - e^{- 6 y}$ и $y (0) = 2$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $e^{- 6 y}$ из $2 t e^{- 6 y} - e^{- 6 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $e^{- 6 y}$ из $2 t e^{- 6 y}$ .

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t) - e^{- 6 y}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $e^{- 6 y}$ из $- e^{- 6 y}$ .

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t) + e^{- 6 y} \cdot - 1$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $e^{- 6 y}$ из $e^{- 6 y} (2 t) + e^{- 6 y} \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d t} = e^{- 6 y} (2 t - 1)$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{- 6 y}}$ .

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- 6 y}} (e^{- 6 y} (2 t - 1))$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $e^{- 6 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- 6 y}} (e^{- 6 y} (2 t - 1))$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} \frac{d y}{d t} = 2 t - 1$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{e^{- 6 y}} d y = (2 t - 1) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{e^{- 6 y}} d y = \int 2 t - 1 d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{- 6 y}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int 1 {(e^{- 6 y})}^{- 1} d y = \int 2 t - 1 d t$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{- 6 y})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- 6 y \cdot - 1} d y = \int 2 t - 1 d t$

Этап 2.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$\int 1 e^{6 y} d y = \int 2 t - 1 d t$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $e^{6 y}$ на $1$ .

$\int e^{6 y} d y = \int 2 t - 1 d t$

Этап 2.2.2

Пусть $u = 6 y$ . Тогда $d u = 6 d y$ , следовательно $\frac{1}{6} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Пусть $u = 6 y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Дифференцируем $6 y$ .

$\frac{d}{d y} [6 y]$

Этап 2.2.2.1.2

Поскольку $6$ является константой относительно $y$ , производная $6 y$ по $y$ равна $6 \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Этап 2.2.2.1.4

Умножим $6$ на $1$ .

$6$

Этап 2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{6} d u = \int 2 t - 1 d t$

Этап 2.2.3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{e^{u}}{6} d u = \int 2 t - 1 d t$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} \int e^{u} d u = \int 2 t - 1 d t$

Этап 2.2.5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{6} (e^{u} + C_{1}) = \int 2 t - 1 d t$

Этап 2.2.6

Упростим.

$\frac{1}{6} e^{u} + C_{1} = \int 2 t - 1 d t$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $6 y$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = \int 2 t - 1 d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = \int 2 t d t + \int - 1 d t$

Этап 2.3.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 \int t d t + \int - 1 d t$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - 1 d t$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - t + C_{3}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - t + C_{3}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

$\frac{1}{6} e^{6 y} + C_{1} = t^{2} - t + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{6} e^{6 y} = t^{2} - t + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $6$ .

$6 (\frac{1}{6} e^{6 y}) = 6 (t^{2} - t + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $6 (\frac{1}{6} e^{6 y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $e^{6 y}$ .

$6 \frac{e^{6 y}}{6} = 6 (t^{2} - t + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$6 \frac{e^{6 y}}{6} = 6 (t^{2} - t + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{6 y} = 6 (t^{2} - t + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $6 (t^{2} - t + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{6 y} = 6 t^{2} + 6 (- t) + 6 K$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$e^{6 y} = 6 t^{2} - 6 t + 6 K$

Этап 3.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{6 y}) = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

Этап 3.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Развернем $\ln (e^{6 y})$ , вынося $6 y$ из логарифма.

$6 y \ln (e) = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

Этап 3.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$6 y \cdot 1 = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

Этап 3.4.3

Умножим $6$ на $1$ .

$6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$

Этап 3.5

Разделим каждый член $6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $6 y = \ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)$ на $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + 6 K)}{6}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $t$ и $2$ вместо $y$ в $y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$ .

$2 = \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6}$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 2$ .

$\frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 2$

Этап 6.2

Умножим обе части уравнения на $6$ .

$6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Этап 6.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Упростим $6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$6 \frac{\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Этап 6.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\ln (6 \cdot 0^{2} - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

Этап 6.3.1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\ln (6 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

Этап 6.3.1.1.2.2

Умножим $6$ на $0$ .

$\ln (0 - 6 \cdot 0 + K) = 6 \cdot 2$

Этап 6.3.1.1.2.3

Умножим $- 6$ на $0$ .

$\ln (0 + 0 + K) = 6 \cdot 2$

Этап 6.3.1.1.3

Объединим противоположные члены в $0 + 0 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.3.1

Добавим $0$ и $0$ .

$\ln (0 + K) = 6 \cdot 2$

Этап 6.3.1.1.3.2

Добавим $0$ и $K$ .

$\ln (K) = 6 \cdot 2$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\ln (K) = 12$

Этап 6.4

Чтобы решить относительно $K$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (K)} = e^{12}$

Этап 6.5

Перепишем $\ln (K) = 12$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{12} = K$

Этап 6.6

Перепишем уравнение в виде $K = e^{12}$ .

$K = e^{12}$

Этап 7

Подставим $e^{12}$ вместо $K$ в $y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + K)}{6}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $e^{12}$ вместо $K$ .

$y = \frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})}{6}$

Этап 7.2

Перепишем $\frac{\ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})}{6}$ в виде $\frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$ .

$y = \frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$

Этап 7.3

Упростим $\frac{1}{6} \ln (6 t^{2} - 6 t + e^{12})$ путем переноса $\frac{1}{6}$ под логарифм.

$y = \ln ({(6 t^{2} - 6 t + e^{12})}^{\frac{1}{6}})$