Математический анализ Примеры

$\frac{d u}{d v} = \frac{3 v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d u}{d v} = 3 v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} (3 v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 (\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}) (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Этап 1.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Этап 1.3.3.2

Возведем $\sqrt{1 + u^{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Этап 1.3.3.3

Возведем $\sqrt{1 + u^{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Этап 1.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Этап 1.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Этап 1.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ в виде $1 + u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + u^{2}}$ в виде ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Этап 1.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Этап 1.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Этап 1.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Этап 1.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Этап 1.3.3.6.5

Упростим.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 \frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Этап 1.3.4

Объединим $3$ и $\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{3 (u \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} (v \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u})$

Этап 1.3.5

Объединим $v$ и $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{u}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{3 u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \cdot \frac{v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

Этап 1.3.6

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Вынесем множитель $u$ из $3 u \sqrt{1 + u^{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{u (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} \cdot \frac{v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

Этап 1.3.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{u (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} \cdot \frac{v \sqrt{1 + u^{2}}}{u}$

Этап 1.3.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{3 \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} (v \sqrt{1 + u^{2}})$

Этап 1.3.7

Объединим $v$ и $\frac{3 \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}$

Этап 1.3.8

Объединим $\frac{v (3 \sqrt{1 + u^{2}})}{1 + u^{2}}$ и $\sqrt{1 + u^{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 \sqrt{1 + u^{2}}) \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$

Этап 1.3.9

Возведем $\sqrt{1 + u^{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 ({\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}))}{1 + u^{2}}$

Этап 1.3.10

Возведем $\sqrt{1 + u^{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 ({\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}))}{1 + u^{2}}$

Этап 1.3.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1})}{1 + u^{2}}$

Этап 1.3.12

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v (3 {\sqrt{1 + u^{2}}}^{2})}{1 + u^{2}}$

Этап 1.3.13

Перепишем ${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ в виде $1 + u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.13.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + u^{2}}$ в виде ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{1 + u^{2}}$

Этап 1.3.13.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{1 + u^{2}}$

Этап 1.3.13.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}}{1 + u^{2}}$

Этап 1.3.13.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.13.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}}{1 + u^{2}}$

Этап 1.3.13.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 {(1 + u^{2})}^{1}}{1 + u^{2}}$

Этап 1.3.13.5

Упростим.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 (1 + u^{2})}{1 + u^{2}}$

Этап 1.3.14

Сократим общий множитель $1 + u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.14.1

Сократим общий множитель.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = \frac{v \cdot 3 (1 + u^{2})}{1 + u^{2}}$

Этап 1.3.14.2

Разделим $v \cdot 3$ на $1$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = v \cdot 3$

Этап 1.3.15

Перенесем $3$ влево от $v$ .

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \frac{d u}{d v} = 3 v$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u = 3 v d v$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u = \int 3 v d v$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = 1 + u^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 u d u$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = u d u$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = 1 + u^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $1 + u^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [1 + u^{2}]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $1 + u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [u^{2}]$ .

$\frac{d}{d u} [1] + \frac{d}{d u} [u^{2}]$

Этап 2.2.1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $u$ , производная $1$ относительно $u$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{2}]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 u$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $0$ и $2 u$ .

$2 u$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int 3 v d v$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u_{1}}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u_{1}} \cdot 2} d u_{1} = \int 3 v d v$

Этап 2.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u_{1}}} d u_{1} = \int 3 v d v$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} = \int 3 v d v$

Этап 2.2.4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int 3 v d v$

Этап 2.2.4.2

Вынесем ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} = \int 3 v d v$

Этап 2.2.4.3

Перемножим экспоненты в ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} = \int 3 v d v$

Этап 2.2.4.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} = \int 3 v d v$

Этап 2.2.4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} = \int 3 v d v$

Этап 2.2.5

По правилу степени интеграл ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ по $u_{1}$ имеет вид $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int 3 v d v$

Этап 2.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Перепишем $\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ в виде $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

Этап 2.2.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

Этап 2.2.6.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

Этап 2.2.6.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

Этап 2.2.6.2.3

Умножим ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

${u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + u^{2}$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 v d v$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $v$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 \int v d v$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $v$ по $v$ имеет вид $\frac{1}{2} v^{2}$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} v^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $3 (\frac{1}{2} v^{2} + C_{2})$ в виде $3 (\frac{1}{2}) v^{2} + C_{2}$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2}) v^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{3}{2} v^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} v^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим ${({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 + u^{2})}^{1} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Упростим.

$1 + u^{2} = {(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим ${(\frac{3}{2} v^{2} + K)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $v^{2}$ .

$1 + u^{2} = {(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2}$

Этап 3.2.2.1.1.2

Перепишем ${(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2}$ в виде $(\frac{3 v^{2}}{2} + K) (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$ .

$1 + u^{2} = (\frac{3 v^{2}}{2} + K) (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Развернем $(\frac{3 v^{2}}{2} + K) (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2}}{2} (\frac{3 v^{2}}{2} + K) + K (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$

Этап 3.2.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2}}{2} \cdot \frac{3 v^{2}}{2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K (\frac{3 v^{2}}{2} + K)$

Этап 3.2.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2}}{2} \cdot \frac{3 v^{2}}{2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1.1

Объединим.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2} (3 v^{2})}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Этап 3.2.2.1.3.1.2

Умножим $v^{2}$ на $v^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1.2.1

Перенесем $v^{2}$ .

$1 + u^{2} = \frac{3 (v^{2} v^{2}) \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Этап 3.2.2.1.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{2 + 2} \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Этап 3.2.2.1.3.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$1 + u^{2} = \frac{3 v^{4} \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Этап 3.2.2.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Этап 3.2.2.1.3.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2}}{2} K + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Этап 3.2.2.1.3.1.5

Объединим $\frac{3 v^{2}}{2}$ и $K$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + K \frac{3 v^{2}}{2} + K \cdot K$

Этап 3.2.2.1.3.1.6

Объединим $K$ и $\frac{3 v^{2}}{2}$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + \frac{K (3 v^{2})}{2} + K (K)$

Этап 3.2.2.1.3.1.7

Перенесем $3$ влево от $K$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + \frac{3 \cdot K v^{2}}{2} + K \cdot K$

Этап 3.2.2.1.3.1.8

Умножим $K$ на $K$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 v^{2} K}{2} + \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

Этап 3.2.2.1.3.2

Добавим $\frac{3 v^{2} K}{2}$ и $\frac{3 K v^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.2.1

Перенесем $v^{2}$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + \frac{3 K v^{2}}{2} + \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

Этап 3.2.2.1.3.2.2

Добавим $\frac{3 K v^{2}}{2}$ и $\frac{3 K v^{2}}{2}$ .

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 2 \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

Этап 3.2.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 2 \frac{3 K v^{2}}{2} + K^{2}$

Этап 3.2.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$1 + u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2}$

Этап 3.3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} = \frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1$

Этап 3.3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$u = \pm \sqrt{\frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

Этап 3.3.3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{9 v^{4}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перепишем $9 v^{4}$ в виде ${(3 v^{2})}^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{\frac{{(3 v^{2})}^{2}}{4} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

Этап 3.3.3.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{\frac{{(3 v^{2})}^{2}}{2^{2}} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

Этап 3.3.3.1.3

Перепишем $\frac{{(3 v^{2})}^{2}}{2^{2}}$ в виде ${(\frac{3 v^{2}}{2})}^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2})}^{2} + 3 K v^{2} + K^{2} - 1}$

Этап 3.3.3.1.4

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$3 K v^{2} = 2 \cdot \frac{3 v^{2}}{2} \cdot K$

Этап 3.3.3.1.5

Перепишем многочлен.

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2})}^{2} + 2 \cdot \frac{3 v^{2}}{2} \cdot K + K^{2} - 1}$

Этап 3.3.3.1.6

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = \frac{3 v^{2}}{2}$ и $b = K$ .

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2} - 1}$

Этап 3.3.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$u = \pm \sqrt{{(\frac{3 v^{2}}{2} + K)}^{2} - 1^{2}}$

Этап 3.3.3.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{3 v^{2}}{2} + K$ и $b = 1$ .

$u = \pm \sqrt{(\frac{3 v^{2}}{2} + K + 1) (\frac{3 v^{2}}{2} + K - 1)}$

Этап 3.3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$u = \sqrt{(\frac{3 v^{2}}{2} + K + 1) (\frac{3 v^{2}}{2} + K - 1)}$

Этап 3.3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$u = - \sqrt{(\frac{3 v^{2}}{2} + K + 1) (\frac{3 v^{2}}{2} + K - 1)}$

Этап 3.3.4.3