Математический анализ Примеры

$(y \ln (x) + y) d x + (x \ln (x) - e^{y}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y \ln (x) + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (x) + y]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $y \ln (x) + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y \ln (x)] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (x)] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $\ln (x)$ является константой относительно $y$ , производная $y \ln (x)$ по $y$ равна $\ln (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.3

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \ln (x) + 1$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x \ln (x) - e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \ln (x) - e^{y}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x \ln (x) - e^{y}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Этап 2.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Этап 2.3.4

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Этап 2.3.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Этап 2.3.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Этап 2.3.6

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- e^{y}$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{y}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x) + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $1 + \ln (x)$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \ln (x)$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $\ln (x) + 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $1 + \ln (x)$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\ln (x) + 1 = 1 + \ln (x)$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$\ln (x) + 1 = 1 + \ln (x)$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \ln (x) - e^{y} d y$

Этап 5

Проинтегрируем $N (x, y) = x \ln (x) - e^{y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int x \ln (x) d y + \int - e^{y} d y$

Этап 5.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = x \ln (x) y + C + \int - e^{y} d y$

Этап 5.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x \ln (x) y + C - \int e^{y} d y$

Этап 5.4

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y + C - (e^{y} + C)$

Этап 5.5

Упростим.

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \ln (x) + y$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x) y - e^{y} + g (x)] = y \ln (x) + y$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \ln (x) y] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x) y] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \ln (x) y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x \ln (x) y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Этап 8.3.2

$y (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Этап 8.3.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$y (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Этап 8.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Этап 8.3.5

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$y (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Этап 8.3.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.1

Сократим общий множитель.

$y (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Этап 8.3.6.2

Перепишем это выражение.

$y (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Этап 8.3.7

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$y (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Этап 8.4

Поскольку $- e^{y}$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{y}$ относительно $x$ равна $0$ .

$y (1 + \ln (x)) + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \ln (x) + y$

Этап 8.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y (1 + \ln (x)) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Этап 8.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y \cdot 1 + y \ln (x) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Этап 8.6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.1

Умножим $y$ на $1$ .

$y + y \ln (x) + 0 + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Этап 8.6.2.2

Добавим $y + y \ln (x)$ и $0$ .

$y + y \ln (x) + \frac{d g}{d x} = y \ln (x) + y$

Этап 8.6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + y \ln (x) + y = y \ln (x) + y$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$y \ln (x) - y \ln (x) = - \frac{d g}{d x} - y + y$

Этап 9.1.2

Вычтем $y \ln (x)$ из $y \ln (x)$ .

$0 = - \frac{d g}{d x} - y + y$

Этап 9.1.3

Объединим противоположные члены в $- \frac{d g}{d x} - y + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Добавим $- y$ и $y$ .

$0 = - \frac{d g}{d x} + 0$

Этап 9.1.3.2

Добавим $- \frac{d g}{d x}$ и $0$ .

$0 = - \frac{d g}{d x}$

Этап 9.1.4

Поскольку $\frac{d g}{d x}$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- \frac{d g}{d x} = 0$

Этап 9.1.5

Разделим каждый член $- \frac{d g}{d x} = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.1

Разделим каждый член $- \frac{d g}{d x} = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{d g}{d x}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 9.1.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{d g}{d x}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 9.1.5.2.2

Разделим $\frac{d g}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{- 1}$

Этап 9.1.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Этап 10

Найдем первообразную $0$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Этап 10.3

Интеграл $0$ по $x$ имеет вид $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Этап 10.4

Добавим $0$ и $C$ .

$g (x) = C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$

Этап 12

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = x \ln (x) y - e^{y} + C$ .

$f (x, y) = x y \ln (x) - e^{y} + C$