Математический анализ Примеры

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + x y = x$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 1 \frac{d y}{d x} + x y = x$

Этап 1.1.1.2

Перепишем $- 1 \frac{d y}{d x}$ в виде $- \frac{d y}{d x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + x y = x$

Этап 1.1.2

Вычтем $x y$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} = x - x y$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $x^{2} \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} - \frac{d y}{d x} = x - x y$

Этап 1.1.3.2

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $- \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 1 = x - x y$

Этап 1.1.3.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 1) = x - x y$

Этап 1.1.4

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 1^{2}) = x - x y$

Этап 1.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} ((x + 1) (x - 1)) = x - x y$

Этап 1.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{d y}{d x} (x + 1) (x - 1) = x - x y$

Этап 1.1.6

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (x + 1) (x - 1) = x - x y$ на $(x + 1) (x - 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (x + 1) (x - 1) = x - x y$ на $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 1.1.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.2.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 1.1.6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 1.1.6.2.2

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 1.1.6.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 1.1.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 1.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{1} - x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 - x y}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 + x (- 1 y)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 1.2.2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (1 - 1 y)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 1.2.2.1.5

Умножим $x$ на $1 - 1 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (1 - 1 y)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 1.2.2.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (1 - y)}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} (1 - y)$

Этап 1.4

Умножим обе части на $\frac{1}{1 - y}$ .

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} (\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} (1 - y))$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $1 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $1 - y$ из $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} (1 - y)$ .

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} ((1 - y) \frac{x}{(x + 1) (x - 1)})$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} ((1 - y) \frac{x}{(x + 1) (x - 1)})$

Этап 1.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{1 - y} d y = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 - y} d y = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = 1 - y$ . Тогда $d u_{1} = - d y$ , следовательно $- d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = 1 - y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 2.2.2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 - y$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . Тогда $d u_{2} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Этап 2.3.1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.3.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.3.1.1.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.3.1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.3.1.1.3.4.2

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.3.1.1.3.5

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.3.1.1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.3.1.1.3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Этап 2.3.1.1.3.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Этап 2.3.1.1.3.8.2

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Этап 2.3.1.1.3.8.3

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Этап 2.3.1.1.3.8.4

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.8.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$2 x + 0$

Этап 2.3.1.1.3.8.4.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 2.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $(x + 1) (x - 1)$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| 1 - y |) = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| (x + 1) (x - 1) |)$ .

$- \ln (| 1 - y |) = \frac{\ln (| (x + 1) (x - 1) |)}{2} + C$

Этап 3.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| (x + 1) (x - 1) |)}{2} = C$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x (x - 1) + 1 (x - 1) |)}{2} = C$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |)}{2} = C$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.3.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.3.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.3.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.3.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + x - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} + 0 - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.3.2.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$- \ln (| 1 - y |) - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.4

Чтобы записать $- \ln (| 1 - y |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \ln (| 1 - y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.5

Объединим $- \ln (| 1 - y |)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \ln (| 1 - y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \ln (| 1 - y |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (| 1 - y |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} - 1 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Изменим порядок $1$ и $- y$ .

$\frac{- \ln (| - y + 1 |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.7.1.2

Перенесем $\ln (| - y + 1 |)$ .

$\frac{- 1 \cdot (2 \ln (| - y + 1 |)) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.7.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 2 \ln (| - y + 1 |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| - y + 1 |)) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (| x^{2} - 1 |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| - y + 1 |)) - (\ln (| x^{2} - 1 |))}{2} = C$

Этап 3.7.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 \ln (| - y + 1 |)) - (\ln (| x^{2} - 1 |))$ .

$\frac{- (2 \ln (| - y + 1 |) + \ln (| x^{2} - 1 |))}{2} = C$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \ln (| - y + 1 |) + \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.9

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Упростим $- \frac{2 \ln (| - y + 1 |) + \ln (| x^{2} - 1 |)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1.1

Упростим $2 \ln (| - y + 1 |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$- \frac{\ln ({| - y + 1 |}^{2}) + \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.9.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| - y + 1 |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$- \frac{\ln ({(- y + 1)}^{2}) + \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.9.1.1.3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- \frac{\ln ({(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.9.1.2

Перепишем $\frac{\ln ({(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |)}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln ({(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |)$ .

$- (\frac{1}{2} \ln ({(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |)) = C$

Этап 3.9.1.3

Упростим $\frac{1}{2} \ln ({(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$- \ln ({({(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.9.1.4

Применим правило умножения к ${(- y + 1)}^{2} | x^{2} - 1 |$ .

$- \ln ({({(- y + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.9.1.5

Перемножим экспоненты в ${({(- y + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln ({(- y + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.9.1.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$- \ln ({(- y + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.9.1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$- \ln ({(- y + 1)}^{1} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.9.1.6

Упростим.

$- \ln ((- y + 1) {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.9.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$- \ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + 1 {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.9.1.8

Умножим ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$- \ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.10

Разделим каждый член $- \ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Разделим каждый член $- \ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})}{- 1} = \frac{C}{- 1}$

Этап 3.10.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})}{1} = \frac{C}{- 1}$

Этап 3.10.2.2

Разделим $\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})$ на $1$ .

$\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = \frac{C}{- 1}$

Этап 3.10.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = - 1 \cdot C$

Этап 3.10.3.2

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = - C$

Этап 3.11

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})} = e^{- C}$

Этап 3.12

Перепишем $\ln (- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = - y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.13

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Перепишем уравнение в виде $- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C}$ .

$- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C}$

Этап 3.13.2

Вычтем ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ из обеих частей уравнения.

$- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.13.3

Разделим каждый член $- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ на $- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1

Разделим каждый член $- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ на $- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.13.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.13.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.13.3.2.3

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.13.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.3.1

Чтобы записать $\frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.13.3.3.2

Чтобы записать $\frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.13.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.3.3.1

Умножим $\frac{e^{- C}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.13.3.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{1 {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.13.3.3.3.3

Умножим ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.13.3.3.3.4

Умножим $\frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}$

Этап 3.13.3.3.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{1 {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.13.3.3.3.6

Умножим ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.13.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{e^{- C} \cdot - 1 - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.13.3.3.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.3.5.1

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- C}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.13.3.3.5.2

Перепишем $- 1 e^{- C}$ в виде $- e^{- C}$ .

$y = \frac{- e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.13.3.3.5.3

Умножим $- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.3.5.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{- e^{- C} + 1 {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.13.3.3.5.3.2

Умножим ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$y = \frac{- e^{- C} + {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.13.3.3.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.3.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{- e^{- C} - 1 (- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.13.3.3.6.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{- C} - 1 (- {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y = \frac{- (e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.13.3.3.6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.3.6.3.1

Перепишем $- (e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})$ в виде $- 1 (e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y = \frac{- 1 (e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}})}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.13.3.3.6.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{e^{- C} - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{C - {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$