Математический анализ Примеры

$(e^{x} + 1) y d y = (y + 1) e^{x} d x$

Этап 1

Умножим обе части на $\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ .

$\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((e^{x} + 1) y) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $e^{x} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $e^{x} + 1$ из $(e^{x} + 1) y$ .

$\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((e^{x} + 1) (y)) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Этап 2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((e^{x} + 1) y) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Этап 2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y + 1} y d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Этап 2.2

Объединим $\frac{1}{y + 1}$ и $y$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $y + 1$ из $(e^{x} + 1) (y + 1)$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Этап 2.3.2

Вынесем множитель $y + 1$ из $(y + 1) e^{x}$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) (e^{x})) d x$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Этап 2.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{e^{x} + 1} e^{x} d x$

Этап 2.4

Объединим $\frac{1}{e^{x} + 1}$ и $e^{x}$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Этап 3.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим $y$ на $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Этап 3.2.1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $y$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Этап 3.2.1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Этап 3.2.1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $y + 1$ .

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Этап 3.2.1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Этап 3.2.1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Этап 3.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Этап 3.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Этап 3.2.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Этап 3.2.5

Пусть $u_{1} = y + 1$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Пусть $u_{1} = y + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1.1

Дифференцируем $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 3.2.5.1.2

По правилу суммы производная $y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 3.2.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 3.2.5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 3.2.5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 3.2.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Этап 3.2.6

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Этап 3.2.7

Упростим.

$y - \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Этап 3.2.8

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Пусть $u_{2} = e^{x} + 1$ . Тогда $d u_{2} = e^{x} d x$ , следовательно $\frac{1}{e^{x}} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Пусть $u_{2} = e^{x} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Дифференцируем $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Этап 3.3.1.1.2

По правилу суммы производная $e^{x} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.3.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{x} + 0$

Этап 3.3.1.1.4.2

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$e^{x}$

Этап 3.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 3.3.2

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{x} + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| e^{x} + 1 |) + C_{4}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = \ln (| e^{x} + 1 |) + C$