Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$ $y = A x e^{x^{2}}$

Этап 1

Запишем задачу в виде математического выражения.

$x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$ $y = A x e^{x^{2}}$

Этап 2

Перепишем дифференциальное уравнение.

$x y' - y = 2 x^{2} y$

Этап 3

Найдем $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (A x e^{x^{2}})$

Этап 3.2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $A$ является константой относительно $x$ , производная $A x e^{x^{2}}$ по $x$ равна $A \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$A \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$A (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$A (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$A (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$A (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$A (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$A (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$A (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$A (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Добавим $1$ и $1$ .

$A (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.8.2

Перенесем $2$ влево от $e^{x^{2}}$ .

$A (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

Этап 3.3.10

Умножим $e^{x^{2}}$ на $1$ .

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})$

Этап 3.3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + A e^{x^{2}}$

Этап 3.3.11.2

Изменим порядок членов.

$2 e^{x^{2}} x^{2} A + e^{x^{2}} A$

Этап 3.3.11.3

Изменим порядок множителей в $2 e^{x^{2}} x^{2} A + e^{x^{2}} A$ .

$2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}$

Этап 3.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}$

Этап 4

Подставим в заданное дифференциальное уравнение.

$x (2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x^{2} A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Этап 5.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x (x^{2} A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Этап 5.1.3

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Этап 5.1.3.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Этап 5.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{2 + 1} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Этап 5.1.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - A x e^{x^{2}} = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Этап 5.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - A x e^{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Изменим порядок множителей в членах $x (A e^{x^{2}})$ и $- A x e^{x^{2}}$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} A x - e^{x^{2}} A x = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Этап 5.2.2

Вычтем $e^{x^{2}} A x$ из $e^{x^{2}} A x$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + 0 = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Этап 5.2.3

Добавим $2 x^{3} (A e^{x^{2}})$ и $0$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Этап 5.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем $x$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 (x \cdot x^{2}) (A e^{x^{2}})$

Этап 5.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 (x^{1} x^{2}) (A e^{x^{2}})$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{1 + 2} (A e^{x^{2}})$

Этап 5.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{3} (A e^{x^{2}})$

Этап 5.4

Изменим порядок множителей в $2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{3} (A e^{x^{2}})$ .

$2 x^{3} A e^{x^{2}} = 2 x^{3} A e^{x^{2}}$

Этап 6

Данное решение удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению.

$y = A x e^{x^{2}}$ является решением уравнения $x y' - y = 2 x^{2} y$