Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - x^{2} + 2 x$ , $y (2) = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (x^{3} - x^{2} + 2 x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x^{3} - x^{2} + 2 x d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int x^{3} - x^{2} + 2 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int x^{3} d x + \int - x^{2} d x + \int 2 x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} + \int - x^{2} d x + \int 2 x d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - \int x^{2} d x + \int 2 x d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 2 x d x$

Этап 2.3.5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 2 \int x d x$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{5}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{5}$

Этап 2.3.7.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{5}$

Этап 2.3.7.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + 1 x^{2} + C_{5}$

Этап 2.3.7.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + C_{5}$

Этап 2.3.8

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $2$ вместо $x$ и $0$ вместо $y$ в $y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$ .

$0 = 2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$ .

$2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Этап 4.2

Упростим $2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Этап 4.2.1.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Этап 4.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$4 + \frac{1}{4} \cdot (4 (4)) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Этап 4.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$4 + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Этап 4.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$4 + 4 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + K = 0$

Этап 4.2.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$4 + 4 - \frac{1}{3} \cdot 8 + K = 0$

Этап 4.2.1.5

Умножим $- \frac{1}{3} \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

Умножим $8$ на $- 1$ .

$4 + 4 - 8 (\frac{1}{3}) + K = 0$

Этап 4.2.1.5.2

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{3}$ .

$4 + 4 + \frac{- 8}{3} + K = 0$

Этап 4.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 + 4 - \frac{8}{3} + K = 0$

Этап 4.2.2

Добавим $4$ и $4$ .

$8 - \frac{8}{3} + K = 0$

Этап 4.2.3

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$8 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3} + K = 0$

Этап 4.2.4

Объединим $8$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3} + K = 0$

Этап 4.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 \cdot 3 - 8}{3} + K = 0$

Этап 4.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Умножим $8$ на $3$ .

$\frac{24 - 8}{3} + K = 0$

Этап 4.2.6.2

Вычтем $8$ из $24$ .

$\frac{16}{3} + K = 0$

Этап 4.3

Вычтем $\frac{16}{3}$ из обеих частей уравнения.

$K = - \frac{16}{3}$

Этап 5

Подставим $- \frac{16}{3}$ вместо $K$ в $y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- \frac{16}{3}$ вместо $K$ .

$y = x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{16}{3}$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$y = x^{2} + \frac{x^{4}}{4} - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{16}{3}$

Этап 5.2.2

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$y = x^{2} + \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{16}{3}$