Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = {(y - 1)}^{2} e^{x - 1}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{{(y - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} ({(y - 1)}^{2} e^{x - 1})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель ${(y - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель ${(y - 1)}^{2}$ из ${(y - 1)}^{2} e^{x - 1}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} ({(y - 1)}^{2} (e^{x - 1}))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} ({(y - 1)}^{2} e^{x - 1})$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = e^{x - 1}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = e^{x - 1} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = \int e^{x - 1} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = y - 1$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = y - 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int e^{x - 1} d x$

Этап 2.2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем ${u_{1}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int e^{x - 1} d x$

Этап 2.2.2.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int e^{x - 1} d x$

Этап 2.2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int e^{x - 1} d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл ${u_{1}}^{- 2}$ по $u_{1}$ имеет вид $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- {u_{1}}^{- 1} + C_{1} = \int e^{x - 1} d x$

Этап 2.2.4

Перепишем $- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int e^{x - 1} d x$

Этап 2.2.5

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = \int e^{x - 1} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{2} = x - 1$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{2} = x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3.1.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.2

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = e^{x - 1} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y - 1} = e^{x - 1} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y - 1, 1, 1$

Этап 3.1.2

Избавимся от скобок.

$y - 1, 1, 1$

Этап 3.1.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y - 1$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{1}{y - 1} = e^{x - 1} + K$ умножим на $y - 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y - 1} = e^{x - 1} + K$ на $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} (y - 1) = e^{x - 1} (y - 1) + K (y - 1)$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y - 1}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = e^{x - 1} (y - 1) + K (y - 1)$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = e^{x - 1} (y - 1) + K (y - 1)$

Этап 3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = e^{x - 1} (y - 1) + K (y - 1)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 = e^{x - 1} y + e^{x - 1} \cdot - 1 + K (y - 1)$

Этап 3.2.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{x - 1}$ .

$- 1 = e^{x - 1} y - 1 \cdot e^{x - 1} + K (y - 1)$

Этап 3.2.3.1.3

Перепишем $- 1 e^{x - 1}$ в виде $- e^{x - 1}$ .

$- 1 = e^{x - 1} y - e^{x - 1} + K (y - 1)$

Этап 3.2.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 = e^{x - 1} y - e^{x - 1} + K y + K \cdot - 1$

Этап 3.2.3.1.5

Перенесем $- 1$ влево от $K$ .

$- 1 = e^{x - 1} y - e^{x - 1} + K y - 1 \cdot K$

Этап 3.2.3.1.6

Перепишем $- 1 K$ в виде $- K$ .

$- 1 = e^{x - 1} y - e^{x - 1} + K y - K$

Этап 3.2.3.2

Изменим порядок множителей в $e^{x - 1} y - e^{x - 1} + K y - K$ .

$- 1 = y e^{x - 1} - e^{x - 1} + K y - K$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $y e^{x - 1} - e^{x - 1} + K y - K = - 1$ .

$y e^{x - 1} - e^{x - 1} + K y - K = - 1$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $e^{x - 1}$ к обеим частям уравнения.

$y e^{x - 1} + K y - K = - 1 + e^{x - 1}$

Этап 3.3.2.2

Добавим $K$ к обеим частям уравнения.

$y e^{x - 1} + K y = - 1 + e^{x - 1} + K$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y e^{x - 1} + K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y e^{x - 1}$ .

$y (e^{x - 1}) + K y = - 1 + e^{x - 1} + K$

Этап 3.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $K y$ .

$y (e^{x - 1}) + y K = - 1 + e^{x - 1} + K$

Этап 3.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (e^{x - 1}) + y K$ .

$y (e^{x - 1} + K) = - 1 + e^{x - 1} + K$

Этап 3.3.4

Разделим каждый член $y (e^{x - 1} + K) = - 1 + e^{x - 1} + K$ на $e^{x - 1} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Разделим каждый член $y (e^{x - 1} + K) = - 1 + e^{x - 1} + K$ на $e^{x - 1} + K$ .

$\frac{y (e^{x - 1} + K)}{e^{x - 1} + K} = \frac{- 1}{e^{x - 1} + K} + \frac{e^{x - 1}}{e^{x - 1} + K} + \frac{K}{e^{x - 1} + K}$

Этап 3.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Сократим общий множитель $e^{x - 1} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (e^{x - 1} + K)}{e^{x - 1} + K} = \frac{- 1}{e^{x - 1} + K} + \frac{e^{x - 1}}{e^{x - 1} + K} + \frac{K}{e^{x - 1} + K}$

Этап 3.3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{e^{x - 1} + K} + \frac{e^{x - 1}}{e^{x - 1} + K} + \frac{K}{e^{x - 1} + K}$

Этап 3.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{e^{x - 1} + K} + \frac{e^{x - 1}}{e^{x - 1} + K} + \frac{K}{e^{x - 1} + K}$

Этап 3.3.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 1 + e^{x - 1}}{e^{x - 1} + K} + \frac{K}{e^{x - 1} + K}$