Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} x + y - 1$

Этап 1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{2} x - 1$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 1 d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- x + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (\frac{1}{2} x) + e^{- x} \cdot - 1$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (\frac{1}{2} x) + e^{- x} \cdot - 1$

Этап 3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = \frac{1}{2} e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = \frac{e^{- x}}{2} x + e^{- x} \cdot - 1$

Этап 3.3.3

Объединим $\frac{e^{- x}}{2}$ и $x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = \frac{e^{- x} x}{2} + e^{- x} \cdot - 1$

Этап 3.3.4

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = \frac{e^{- x} x}{2} - 1 \cdot e^{- x}$

Этап 3.3.5

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = \frac{e^{- x} x}{2} - e^{- x}$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = \frac{e^{- x} x}{2} - e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = \frac{x e^{- x}}{2} - e^{- x}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = \frac{x e^{- x}}{2} - e^{- x}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int \frac{x e^{- x}}{2} - e^{- x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- x} y = \int \frac{x e^{- x}}{2} - e^{- x} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$e^{- x} y = \int \frac{x e^{- x}}{2} d x + \int - e^{- x} d x$

Этап 7.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} \int x e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

Этап 7.3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Этап 7.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Этап 7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Этап 7.5.2

Умножим $\int e^{- x} d x$ на $1$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Этап 7.6

Пусть $u_{1} = - x$ . Тогда $d u_{1} = - d x$ , следовательно $- d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Пусть $u_{1} = - x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 7.6.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 7.6.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 7.6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Этап 7.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Этап 7.8

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int - e^{- x} d x$

Этап 7.9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int e^{- x} d x$

Этап 7.10

Пусть $u_{2} = - x$ . Тогда $d u_{2} = - d x$ , следовательно $- d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1

Пусть $u_{2} = - x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 7.10.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 7.10.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 7.10.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 7.11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 7.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.12.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 7.12.2

Умножим $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ на $1$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 7.13

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + e^{u_{2}} + C$

Этап 7.14

Упростим.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (- x e^{- x} - e^{u_{1}}) + e^{u_{2}} + C$

Этап 7.15

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.15.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{u_{2}} + C$

Этап 7.15.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$

Этап 7.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- x} y = \frac{1}{2} (- x e^{- x}) + \frac{1}{2} (- e^{- x}) + e^{- x} + C$

Этап 7.16.2

Умножим $\frac{1}{2} (- x e^{- x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.16.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$e^{- x} y = - \frac{x}{2} e^{- x} + \frac{1}{2} (- e^{- x}) + e^{- x} + C$

Этап 7.16.2.2

Объединим $e^{- x}$ и $\frac{x}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x} x}{2} + \frac{1}{2} (- e^{- x}) + e^{- x} + C$

Этап 7.16.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{- x}$ .

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} + C$

Этап 7.16.4

Изменим порядок множителей в $- \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{x e^{- x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} + C$

Этап 7.17

Изменим порядок членов.

$e^{- x} y = - \frac{1}{2} x e^{- x} - \frac{1}{2} e^{- x} + e^{- x} + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{x}{2} e^{- x} - \frac{1}{2} e^{- x} + e^{- x} + C$

Этап 8.1.2

Объединим $e^{- x}$ и $\frac{x}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{1}{2} e^{- x} + e^{- x} + C$

Этап 8.1.3

Объединим $e^{- x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} + C$

Этап 8.2

Разделим каждый член $e^{- x} y = - \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} + C$ на $e^{- x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим каждый член $e^{- x} y = - \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} + C$ на $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2}}{e^{- x}} + \frac{- \frac{e^{- x}}{2}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2}}{e^{- x}} + \frac{- \frac{e^{- x}}{2}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 8.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2}}{e^{- x}} + \frac{- \frac{e^{- x}}{2}}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3.2

Чтобы записать $e^{- x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + e^{- x} \cdot \frac{2}{2} + C}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.3.1

Объединим $e^{- x}$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2} - \frac{e^{- x}}{2} + \frac{e^{- x} \cdot 2}{2} + C}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- \frac{e^{- x} x}{2} + \frac{- e^{- x} + e^{- x} \cdot 2}{2} + C}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{C + \frac{- e^{- x} x - e^{- x} + e^{- x} \cdot 2}{2}}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3.4

Перенесем $2$ влево от $e^{- x}$ .

$y = \frac{C + \frac{- e^{- x} x - e^{- x} + 2 e^{- x}}{2}}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.5.1

Добавим $- e^{- x}$ и $2 e^{- x}$ .

$y = \frac{C + \frac{- e^{- x} x + e^{- x}}{2}}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3.5.2

Изменим порядок множителей в $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$y = \frac{C + \frac{- x e^{- x} + e^{- x}}{2}}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3.5.3

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.5.3.1

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $- x e^{- x}$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{- x} (- x) + e^{- x}}{2}}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3.5.3.2

Умножим на $1$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1}{2}}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3.5.3.3

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{- x} (- x + 1)}{2}}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3.6

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- x} (- x + 1)}{2}}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.7.1

Объединим $C$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{C \cdot 2}{2} + \frac{e^{- x} (- x + 1)}{2}}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{C \cdot 2 + e^{- x} (- x + 1)}{2}}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.8.1

Перенесем $2$ влево от $C$ .

$y = \frac{\frac{2 \cdot C + e^{- x} (- x + 1)}{2}}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{\frac{2 C + e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1}{2}}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3.8.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{\frac{2 C - e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1}{2}}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3.8.4

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{2 C - e^{- x} x + e^{- x}}{2}}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3.9

Изменим порядок множителей в $\frac{2 C - e^{- x} x + e^{- x}}{2}$ .

$y = \frac{\frac{2 C - x e^{- x} + e^{- x}}{2}}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3.10

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{2 C - x e^{- x} + e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{e^{- x}}$

Этап 8.2.3.11

Умножим $\frac{2 C - x e^{- x} + e^{- x}}{2}$ на $\frac{1}{e^{- x}}$ .

$y = \frac{2 C - x e^{- x} + e^{- x}}{2 e^{- x}}$