Математический анализ Примеры

Решите Дифференциальное Уравнение x(2y-3)dx+(x^2+1)dy=0
Этап 1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 2
Умножим обе части на .
Этап 3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.2
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 3.3
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.1
Перенесем стоящий впереди знак минуса в в числитель.
Этап 3.3.2
Вынесем множитель из .
Этап 3.3.3
Вынесем множитель из .
Этап 3.3.4
Сократим общий множитель.
Этап 3.3.5
Перепишем это выражение.
Этап 3.4
Объединим и .
Этап 3.5
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4
Проинтегрируем обе части.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Зададим интеграл на каждой стороне.
Этап 4.2
Проинтегрируем левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1.1.1
Дифференцируем .
Этап 4.2.1.1.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.2.1.1.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1.1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.2.1.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.2.1.1.3.3
Умножим на .
Этап 4.2.1.1.4
Продифференцируем, используя правило константы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.1.1.4.1
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.2.1.1.4.2
Добавим и .
Этап 4.2.1.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 4.2.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.2.2.1
Умножим на .
Этап 4.2.2.2
Перенесем влево от .
Этап 4.2.3
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 4.2.4
Интеграл по имеет вид .
Этап 4.2.5
Упростим.
Этап 4.2.6
Заменим все вхождения на .
Этап 4.3
Проинтегрируем правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 4.3.2
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.2.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.2.1.1
Дифференцируем .
Этап 4.3.2.1.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.3.2.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.3.2.1.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.3.2.1.5
Добавим и .
Этап 4.3.2.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 4.3.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.1
Умножим на .
Этап 4.3.3.2
Перенесем влево от .
Этап 4.3.4
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 4.3.5
Интеграл по имеет вид .
Этап 4.3.6
Упростим.
Этап 4.3.7
Заменим все вхождения на .
Этап 4.4
Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как .
Этап 5
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Умножим обе части уравнения на .
Этап 5.2
Упростим обе части уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1.1.1
Объединим и .
Этап 5.2.1.1.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1.1.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.2.1.1.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 5.2.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.2.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.2.1.1
Объединим и .
Этап 5.2.2.1.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 5.2.2.1.3
Упростим члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.2.1.3.1
Объединим и .
Этап 5.2.2.1.3.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 5.2.2.1.3.3
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.2.1.3.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.2.2.1.3.3.2
Перепишем это выражение.
Этап 5.2.2.1.4
Перенесем влево от .
Этап 5.3
Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.
Этап 5.4
Используем свойства произведения логарифмов: .
Этап 5.5
Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.
Этап 5.6
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.6.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.6.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.6.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.7
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.7.1
Умножим на .
Этап 5.7.2
Умножим на .
Этап 5.8
Чтобы решить относительно , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.
Этап 5.9
Перепишем в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если и  — положительные вещественные числа и , то эквивалентно .
Этап 5.10
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.10.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 5.10.2
Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак , поскольку .
Этап 5.10.3
Перенесем все члены без в правую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.10.3.1
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 5.10.3.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 5.10.4
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.10.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.10.4.2
Вынесем множитель из .
Этап 5.10.4.3
Вынесем множитель из .
Этап 5.10.5
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.10.5.1
Разделим каждый член на .
Этап 5.10.5.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.10.5.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.10.5.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.10.5.2.1.2
Перепишем это выражение.
Этап 5.10.5.2.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.10.5.2.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.10.5.2.2.2
Разделим на .
Этап 6
Упростим постоянную интегрирования.