Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} x {(y - 2)}^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{{(y - 2)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y - 2)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y - 2)}^{2}} (\frac{1}{3} x {(y - 2)}^{2})$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{{(y - 2)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{(y - 2)}^{2}} (x {(y - 2)}^{2})$

Этап 1.2.2

Объединим.

$\frac{1}{{(y - 2)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{3 {(y - 2)}^{2}} (x {(y - 2)}^{2})$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель ${(y - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель ${(y - 2)}^{2}$ из $3 {(y - 2)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(y - 2)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{{(y - 2)}^{2} \cdot 3} (x {(y - 2)}^{2})$

Этап 1.2.3.2

Вынесем множитель ${(y - 2)}^{2}$ из $x {(y - 2)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(y - 2)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{{(y - 2)}^{2} \cdot 3} ({(y - 2)}^{2} x)$

Этап 1.2.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{(y - 2)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{{(y - 2)}^{2} \cdot 3} ({(y - 2)}^{2} x)$

Этап 1.2.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(y - 2)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{3} x$

Этап 1.2.4

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{{(y - 2)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} x$

Этап 1.2.5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$\frac{1}{{(y - 2)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{3}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{{(y - 2)}^{2}} d y = \frac{x}{3} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{{(y - 2)}^{2}} d y = \int \frac{x}{3} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = y - 2$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = y - 2$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y - 2$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int \frac{x}{3} d x$

Этап 2.2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \frac{x}{3} d x$

Этап 2.2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \frac{x}{3} d x$

Этап 2.2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int \frac{x}{3} d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int \frac{x}{3} d x$

Этап 2.2.4

Перепишем $- u^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int \frac{x}{3} d x$

Этап 2.2.5

Заменим все вхождения $u$ на $y - 2$ .

$- \frac{1}{y - 2} + C_{1} = \int \frac{x}{3} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y - 2} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{y - 2} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y - 2} + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y - 2} + C_{1} = \frac{1}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{1}{y - 2} + C_{1} = \frac{1}{6} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y - 2} = \frac{1}{6} x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{2}$ .

$- \frac{1}{y - 2} = \frac{x^{2}}{6} + K$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y - 2, 6, 1$

Этап 3.2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.4

У $6$ есть множители: $2$ и $3$ .

$2 \cdot 3$

Этап 3.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.6

НОК $1, 6, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 3$

Этап 3.2.7

Умножим $2$ на $3$ .

$6$

Этап 3.2.8

Множителем $y - 2$ является само значение $y - 2$ .

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 3.2.9

НОК $y - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y - 2$

Этап 3.2.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$6 (y - 2)$

Этап 3.3

Каждый член в $- \frac{1}{y - 2} = \frac{x^{2}}{6} + K$ умножим на $6 (y - 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y - 2} = \frac{x^{2}}{6} + K$ на $6 (y - 2)$ .

$- \frac{1}{y - 2} (6 (y - 2)) = \frac{x^{2}}{6} (6 (y - 2)) + K (6 (y - 2))$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y - 2}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y - 2} (6 (y - 2)) = \frac{x^{2}}{6} (6 (y - 2)) + K (6 (y - 2))$

Этап 3.3.2.1.2

Вынесем множитель $y - 2$ из $6 (y - 2)$ .

$\frac{- 1}{y - 2} ((y - 2) \cdot 6) = \frac{x^{2}}{6} (6 (y - 2)) + K (6 (y - 2))$

Этап 3.3.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y - 2} ((y - 2) \cdot 6) = \frac{x^{2}}{6} (6 (y - 2)) + K (6 (y - 2))$

Этап 3.3.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 6 = \frac{x^{2}}{6} (6 (y - 2)) + K (6 (y - 2))$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 6 = \frac{x^{2}}{6} (6 (y - 2)) + K (6 (y - 2))$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 6 = 6 \frac{x^{2}}{6} (y - 2) + K (6 (y - 2))$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- 6 = 6 \frac{x^{2}}{6} (y - 2) + K (6 (y - 2))$

Этап 3.3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- 6 = x^{2} (y - 2) + K (6 (y - 2))$

Этап 3.3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 = x^{2} y + x^{2} \cdot - 2 + K (6 (y - 2))$

Этап 3.3.3.1.4

Перенесем $- 2$ влево от $x^{2}$ .

$- 6 = x^{2} y - 2 \cdot x^{2} + K (6 (y - 2))$

Этап 3.3.3.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 6 = x^{2} y - 2 x^{2} + 6 K (y - 2)$

Этап 3.3.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 = x^{2} y - 2 x^{2} + 6 K y + 6 K \cdot - 2$

Этап 3.3.3.1.7

Умножим $- 2$ на $6$ .

$- 6 = x^{2} y - 2 x^{2} + 6 K y - 12 K$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} y - 2 x^{2} + 6 K y - 12 K = - 6$ .

$x^{2} y - 2 x^{2} + 6 K y - 12 K = - 6$

Этап 3.4.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим $2 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} y + 6 K y - 12 K = - 6 + 2 x^{2}$

Этап 3.4.2.2

Добавим $12 K$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} y + 6 K y = - 6 + 2 x^{2} + 12 K$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y + 6 K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y$ .

$y x^{2} + 6 K y = - 6 + 2 x^{2} + 12 K$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $6 K y$ .

$y x^{2} + y (6 K) = - 6 + 2 x^{2} + 12 K$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y x^{2} + y (6 K)$ .

$y (x^{2} + 6 K) = - 6 + 2 x^{2} + 12 K$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y (x^{2} + 6 K) = - 6 + 2 x^{2} + 12 K$ на $x^{2} + 6 K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y (x^{2} + 6 K) = - 6 + 2 x^{2} + 12 K$ на $x^{2} + 6 K$ .

$\frac{y (x^{2} + 6 K)}{x^{2} + 6 K} = \frac{- 6}{x^{2} + 6 K} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 6 K} + \frac{12 K}{x^{2} + 6 K}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 6 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x^{2} + 6 K)}{x^{2} + 6 K} = \frac{- 6}{x^{2} + 6 K} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 6 K} + \frac{12 K}{x^{2} + 6 K}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 6}{x^{2} + 6 K} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 6 K} + \frac{12 K}{x^{2} + 6 K}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{6}{x^{2} + 6 K} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 6 K} + \frac{12 K}{x^{2} + 6 K}$

Этап 3.4.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 6 + 2 x^{2}}{x^{2} + 6 K} + \frac{12 K}{x^{2} + 6 K}$

Этап 3.4.4.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 6 + 2 x^{2} + 12 K}{x^{2} + 6 K}$

Этап 3.4.4.3.4

Вынесем множитель $2$ из $- 6 + 2 x^{2} + 12 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$y = \frac{2 \cdot - 3 + 2 x^{2} + 12 K}{x^{2} + 6 K}$

Этап 3.4.4.3.4.2

Вынесем множитель $2$ из $12 K$ .

$y = \frac{2 \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (6 K)}{x^{2} + 6 K}$

Этап 3.4.4.3.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 3 + 2 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \cdot (- 3 + x^{2}) + 2 (6 K)}{x^{2} + 6 K}$

Этап 3.4.4.3.4.4

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot (- 3 + x^{2}) + 2 (6 K)$ .

$y = \frac{2 (- 3 + x^{2} + 6 K)}{x^{2} + 6 K}$

Этап 3.4.4.3.5

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$y = \frac{2 (- 1 (3) + x^{2} + 6 K)}{x^{2} + 6 K}$

Этап 3.4.4.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{2 (- 1 (3) - 1 (- x^{2}) + 6 K)}{x^{2} + 6 K}$

Этап 3.4.4.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - 1 (- x^{2})$ .

$y = \frac{2 (- 1 (3 - x^{2}) + 6 K)}{x^{2} + 6 K}$

Этап 3.4.4.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $6 K$ .

$y = \frac{2 (- 1 (3 - x^{2}) - (- 6 K))}{x^{2} + 6 K}$

Этап 3.4.4.3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3 - x^{2}) - (- 6 K)$ .

$y = \frac{2 (- 1 (3 - x^{2} - 6 K))}{x^{2} + 6 K}$

Этап 3.4.4.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2 (3 - x^{2} - 6 K)}{x^{2} + 6 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{2 (3 - x^{2} + K)}{x^{2} + K}$