Математический анализ Примеры

$x^{2} d x + (x y - y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Этап 1.2

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x y - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y - y]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x y - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.3.3

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $y$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = y$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$0 = y$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - y}{N}$

Этап 4.3

Подставим $x y - y$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x y - y$ вместо $N$ .

$\frac{0 - y}{x y - y}$

Этап 4.3.2

Вычтем $y$ из $0$ .

$\frac{- y}{x y - y}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $x y - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{- y}{y x - y}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$\frac{- y}{y x + y \cdot - 1}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y x + y \cdot - 1$ .

$\frac{- y}{y (x - 1)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- y}{y (x - 1)}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{x - 1}$

Этап 4.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x - 1}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x - 1} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{1}{x - 1} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x - 1} d x}$

Этап 5.2

Пусть $u = x - 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Пусть $u = x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 5.2.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 5.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 5.2.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 5.3

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Этап 5.4

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Этап 5.5

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x - 1 |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- \ln (| x - 1 |)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x - 1 |}^{- 1})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x - 1 |}^{- 1} + C$

Этап 5.6.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x - 1 |} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $x^{2} d x + (x y - y) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x^{2}$ на $\frac{1}{x - 1}$ .

$x^{2} \frac{1}{x - 1} d x + (x y - y) d y = 0$

Этап 6.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + (x y - y) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x y - y$ на $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + (x y - y) \frac{1}{x - 1} d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $x y - y$ на $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{x y - y}{x - 1} d y = 0$

Этап 6.5

Вынесем множитель $y$ из $x y - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y x - y}{x - 1} d y = 0$

Этап 6.5.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y x + y \cdot - 1}{x - 1} d y = 0$

Этап 6.5.3

Вынесем множитель $y$ из $y x + y \cdot - 1$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y (x - 1)}{x - 1} d y = 0$

Этап 6.6

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + \frac{y (x - 1)}{x - 1} d y = 0$

Этап 6.6.2

Разделим $y$ на $1$ .

$\frac{x^{2}}{x - 1} d x + y d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = y$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Этап 11.3

Поскольку $\frac{1}{2} y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Этап 11.5

Добавим $0$ и $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Этап 12

Найдем первообразную $\frac{x^{2}}{x - 1}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{x - 1}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Этап 12.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Этап 12.3

Разделим $x^{2}$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 12.3.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x$
	$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Этап 12.3.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

Этап 12.3.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} - x$ .

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

Этап 12.3.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$

Этап 12.3.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

Этап 12.3.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

Этап 12.3.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					+	$x$	-	$1$

Этап 12.3.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x - 1$ .

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$

Этап 12.3.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$
							+	$1$

Этап 12.3.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$g (x) = \int x + 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 12.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (x) = \int x d x + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 12.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 12.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 12.7

Пусть $u = x - 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.7.1

Пусть $u = x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.7.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 12.7.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 12.7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 12.7.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 12.7.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 12.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int \frac{1}{u} d u$

Этап 12.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \ln (| u |) + C$

Этап 12.9

Упростим.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| u |) + C$

Этап 12.10

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

Этап 13

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

Этап 14

Упростим $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

Этап 14.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + x + \ln (| x - 1 |) + C$

Этап 14.2

Чтобы записать $\ln (| x - 1 |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2}}{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot \frac{2}{2} + C$

Этап 14.3

Объединим $\ln (| x - 1 |)$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2}}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} + C$

Этап 14.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} + C$

Этап 14.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Умножим $\ln (| x - 1 |) \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1.1

Изменим порядок $\ln (| x - 1 |)$ и $2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + 2 \cdot \ln (| x - 1 |)}{2} + C$

Этап 14.5.1.2

Упростим $2 \cdot \ln (| x - 1 |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + \ln ({| x - 1 |}^{2})}{2} + C$

Этап 14.5.2

Уберем знак модуля в ${| x - 1 |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{y^{2} + \ln ({(x - 1)}^{2})}{2} + C$