Математический анализ Примеры

$(y^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

Этап 1

Запишем задачу в виде математического выражения.

$(y^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

Этап 2

Вычтем $(y^{2} + 1) d x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y^{2} d y = - (y^{2} + 1) d x$

Этап 3

Умножим обе части на $\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Этап 4.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Этап 4.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2} + 1} y^{2} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Этап 4.2

Объединим $\frac{1}{y^{2} + 1}$ и $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Этап 4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{2} (y^{2} + 1)}$ в числитель.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2} (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Этап 4.4.2

Вынесем множитель $y^{2} + 1$ из $x^{2} (y^{2} + 1)$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x^{2}} (y^{2} + 1) d x$

Этап 4.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) x^{2}} (y^{2} + 1) d x$

Этап 4.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

Этап 4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y^{2}}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим $y^{2}$ на $y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$y^{2}$

$0 y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$0$

Этап 5.2.1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $y^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $y^{2}$ .

							$1$
	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$

Этап 5.2.1.3

Умножим новое частное на делитель.

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					+	$y^{2}$	+	$0$	+	$1$

Этап 5.2.1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $y^{2} + 0 + 1$ .

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					-	$y^{2}$	-	$0$	-	$1$

Этап 5.2.1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$1$
$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
					-	$y^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Этап 5.2.1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 1 - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d y + \int - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5.2.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Изменим порядок $y^{2}$ и $1$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5.2.5.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5.2.6

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\arctan (y) + C_{2}$ .

$y + C_{1} - (\arctan (y) + C_{2}) = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5.2.7

Упростим.

$y - \arctan (y) + C_{3} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5.3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 5.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 5.3.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - \int x^{- 2} d x$

Этап 5.3.3

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - (- x^{- 1} + C_{4})$

Этап 5.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Перепишем $- (- x^{- 1} + C_{4})$ в виде $- - \frac{1}{x} + C_{4}$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = - - \frac{1}{x} + C_{4}$

Этап 5.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = 1 \frac{1}{x} + C_{4}$

Этап 5.3.4.2.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$y - \arctan (y) + C_{3} = \frac{1}{x} + C_{4}$

Этап 5.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y - \arctan (y) = \frac{1}{x} + K$