Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x} - 1}{e^{y}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $e^{y}$ .

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{e^{x} - 1}{e^{y}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{y} \frac{e^{x} - 1}{e^{y}}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{y} \frac{d y}{d x} = e^{x} - 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$e^{y} d y = (e^{x} - 1) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int e^{y} d y = \int e^{x} - 1 d x$

Этап 2.2

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int e^{x} - 1 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$e^{y} + C_{1} = \int e^{x} d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.2

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$e^{y} + C_{1} = e^{x} + C_{2} + \int - 1 d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{y} + C_{1} = e^{x} + C_{2} - x + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$e^{y} + C_{1} = e^{x} - x + C_{4}$

Этап 2.3.5

Изменим порядок членов.

$e^{y} + C_{1} = - x + e^{x} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$e^{y} = - x + e^{x} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y}) = \ln (- x + e^{x} + K)$

Этап 3.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Развернем $\ln (e^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (e) = \ln (- x + e^{x} + K)$

Этап 3.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (- x + e^{x} + K)$

Этап 3.2.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \ln (- x + e^{x} + K)$