Математический анализ Примеры

$3 (y^{4} + 1) d x + 4 x y^{3} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $3 (y^{4} + 1) d x$ из обеих частей уравнения.

$4 x y^{3} d y = - 3 (y^{4} + 1) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x (y^{4} + 1)}$ .

$\frac{1}{x (y^{4} + 1)} (4 x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Этап 3.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{x (y^{4} + 1)}$ .

$\frac{4}{x (y^{4} + 1)} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x y^{3}$ .

$\frac{4}{x (y^{4} + 1)} (x (y^{3})) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{x (y^{4} + 1)} (x y^{3}) d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{y^{4} + 1} y^{3} d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Этап 3.4

Объединим $\frac{4}{y^{4} + 1}$ и $y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (- 3 (y^{4} + 1)) d x$

Этап 3.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = - 3 \frac{1}{x (y^{4} + 1)} (y^{4} + 1) d x$

Этап 3.6

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x (y^{4} + 1)}$ .

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{x (y^{4} + 1)} (y^{4} + 1) d x$

Этап 3.7

Сократим общий множитель $y^{4} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем множитель $y^{4} + 1$ из $x (y^{4} + 1)$ .

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{(y^{4} + 1) x} (y^{4} + 1) d x$

Этап 3.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{(y^{4} + 1) x} (y^{4} + 1) d x$

Этап 3.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \frac{- 3}{x} d x$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = - \frac{3}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{4 y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \frac{y^{3}}{y^{4} + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 4.2.2

Перепишем $y^{4}$ в виде ${(y^{4})}^{1}$ .

$4 \int \frac{y^{3}}{{(y^{4})}^{1} + 1} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 4.2.3

Пусть $u_{1} = y^{4}$ . Тогда $d u_{1} = 4 y^{3} d y$ , следовательно $\frac{1}{4} d u_{1} = y^{3} d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Пусть $u_{1} = y^{4}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Дифференцируем $y^{4}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{4}]$

Этап 4.2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 y^{3}$

Этап 4.2.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$4 \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 4.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Упростим.

$4 \int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 4.2.4.2

Умножим $\frac{1}{u_{1} + 1}$ на $\frac{1}{4}$ .

$4 \int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 4.2.4.3

Перенесем $4$ влево от $u_{1} + 1$ .

$4 \int \frac{1}{4 (u_{1} + 1)} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 4.2.5

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}) = \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 4.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $4$ .

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 4.2.6.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 4.2.6.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 4.2.6.3

Умножим $\int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$ на $1$ .

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 4.2.7

Пусть $u_{2} = u_{1} + 1$ . Тогда $d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Пусть $u_{2} = u_{1} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1.1

Дифференцируем $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Этап 4.2.7.1.2

По правилу суммы производная $u_{1} + 1$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 4.2.7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Этап 4.2.7.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $1$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.2.7.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 4.2.8

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 4.2.9

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.9.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $u_{1} + 1$ .

$\ln (| u_{1} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 4.2.9.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y^{4}$ .

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

Этап 4.3.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 4.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 4.3.5

Упростим.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y^{4} + 1 |) = - 3 \ln (| x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + 3 \ln (| x |) = C$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $\ln (| y^{4} + 1 |) + 3 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $3 \ln (| x |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln (| y^{4} + 1 |) + \ln ({| x |}^{3}) = C$

Этап 5.2.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}) = C$

Этап 5.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y^{4} + 1 | {| x |}^{3})} = e^{C}$

Этап 5.4

Перепишем $\ln (| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y^{4} + 1 | {| x |}^{3}$

Этап 5.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$ .

$| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$ на ${| x |}^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $| y^{4} + 1 | {| x |}^{3} = e^{C}$ на ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель ${| x |}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y^{4} + 1 | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Этап 5.5.2.2.1.2

Разделим $| y^{4} + 1 |$ на $1$ .

$| y^{4} + 1 | = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Этап 5.5.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y^{4} + 1 = \pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Этап 5.5.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y^{4} = \pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}} - 1$

Этап 5.5.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}} - 1}$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \sqrt[4]{\pm \frac{C}{{| x |}^{3}} - 1}$

Этап 6.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \pm \sqrt[4]{C \frac{1}{{| x |}^{3}} - 1}$