Математический анализ Примеры

$y d x + 3 x d y = 0$

Этап 1

Вычтем $y d x$ из обеих частей уравнения.

$3 x d y = - y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Этап 3.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{1}{x y} y d x$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x y}$ в числитель.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{x y} y d x$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

Этап 3.5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

Этап 3.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{3}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.2.3

Упростим.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 4.3.3

Упростим.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$3 \ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$3 \ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $3 \ln (| y |) + \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $3 \ln (| y |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln (| x |) = C$

Этап 5.2.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{3} | x |) = C$

Этап 5.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln ({| y |}^{3} | x |)} = e^{C}$

Этап 5.4

Перепишем $\ln ({| y |}^{3} | x |) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = {| y |}^{3} | x |$

Этап 5.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде ${| y |}^{3} | x | = e^{C}$ .

${| y |}^{3} | x | = e^{C}$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член ${| y |}^{3} | x | = e^{C}$ на $| x |$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член ${| y |}^{3} | x | = e^{C}$ на $| x |$ .

$\frac{{| y |}^{3} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{| y |}^{3} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Этап 5.5.2.2.1.2

Разделим ${| y |}^{3}$ на $1$ .

${| y |}^{3} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Этап 5.5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{| x |}}$

Этап 5.5.4

Упростим $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{| x |}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{| x |}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$

Этап 5.5.4.2

Умножим $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$

Этап 5.5.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{| x |}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{\sqrt[3]{| x |} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$

Этап 5.5.4.3.2

Возведем $\sqrt[3]{| x |}$ в степень $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{1} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}$

Этап 5.5.4.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{1 + 2}}$

Этап 5.5.4.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| x |}}^{3}}$

Этап 5.5.4.3.5

Перепишем ${\sqrt[3]{| x |}}^{3}$ в виде $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{| x |}$ в виде ${| x |}^{\frac{1}{3}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{({| x |}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 5.5.4.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 5.5.4.3.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.5.4.3.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.5.4.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{{| x |}^{1}}$

Этап 5.5.4.3.5.5

Упростим.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{| x |}}^{2}}{| x |}$

Этап 5.5.4.4

Перепишем ${\sqrt[3]{| x |}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{| x |}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{{| x |}^{2}}}{| x |}$

Этап 5.5.4.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C} {| x |}^{2}}}{| x |}$

Этап 5.5.4.6

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{e^{C} {| x |}^{2}}}{| x |}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{{| x |}^{2} e^{C}}}{| x |}$

Этап 5.5.5

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{{| x |}^{2} e^{C}}}{| x |}$

Этап 5.5.6

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} e^{C}}}{| x |}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x^{2} C}}{| x |}$