Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d θ} = \frac{1}{θ^{2}} - \csc (θ) \cot (θ)$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (\frac{1}{θ^{2}} - \csc (θ) \cot (θ)) d θ$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{1}{θ^{2}} - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{θ^{2}} - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{θ^{2}} d θ + \int - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

Этап 2.3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем $θ^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = \int {(θ^{2})}^{- 1} d θ + \int - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

Этап 2.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(θ^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int θ^{2 \cdot - 1} d θ + \int - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

Этап 2.3.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = \int θ^{- 2} d θ + \int - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $θ^{- 2}$ по $θ$ имеет вид $- θ^{- 1}$ .

$y + C_{1} = - θ^{- 1} + C_{2} + \int - \csc (θ) \cot (θ) d θ$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $θ$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - θ^{- 1} + C_{2} - \int \csc (θ) \cot (θ) d θ$

Этап 2.3.5

Поскольку производная $- \csc (θ)$ равна $\csc (θ) \cot (θ)$ , интеграл $\csc (θ) \cot (θ)$ равен $- \csc (θ)$ .

$y + C_{1} = - θ^{- 1} + C_{2} - (- \csc (θ) + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Упростим.

$y + C_{1} = - \frac{1}{θ} - - \csc (θ) + C_{4}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{θ} + 1 \csc (θ) + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2

Умножим $\csc (θ)$ на $1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{θ} + \csc (θ) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - \frac{1}{θ} + \csc (θ) + K$