Математический анализ Примеры

$9 = \frac{9 d x (x - 2 x y)}{d y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поменяем части местами, чтобы получить $\frac{d x}{d y}$ слева.

$9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y} = 9$

Этап 1.2

Разделим каждый член $9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y} = 9$ на $9 (x - 2 x y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y} = 9$ на $9 (x - 2 x y)$ .

$\frac{9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y}}{9 (x - 2 x y)} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y}}{9 (x - 2 x y)} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

Этап 1.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x - 2 x y) \frac{d x}{d y}}{x - 2 x y} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

Этап 1.2.2.2

Сократим общий множитель $x - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 2 x y) \frac{d x}{d y}}{x - 2 x y} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

Этап 1.2.2.2.2

Разделим $\frac{d x}{d y}$ на $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d x}{d y} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

Этап 1.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x - 2 x y}$

Этап 1.2.3.2

Вынесем множитель $x$ из $x - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{1} - 2 x y}$

Этап 1.2.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x \cdot 1 - 2 x y}$

Этап 1.2.3.2.3

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x y$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x \cdot 1 + x (- 2 y)}$

Этап 1.2.3.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- 2 y)$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x (1 - 2 y)}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 - 2 y}$

Этап 1.4

Умножим обе части на $x$ .

$x \frac{d x}{d y} = x (\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 - 2 y})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{1 - 2 y}$ .

$x \frac{d x}{d y} = x \frac{1}{x (1 - 2 y)}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$x \frac{d x}{d y} = x \frac{1}{x (1 - 2 y)}$

Этап 1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$x \frac{d x}{d y} = \frac{1}{1 - 2 y}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$x d x = \frac{1}{1 - 2 y} d y$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int x d x = \int \frac{1}{1 - 2 y} d y$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 y} d y$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = 1 - 2 y$ . Тогда $d u = - 2 d y$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = 1 - 2 y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $1 - 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - 2 y]$

Этап 2.3.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - 2 y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Этап 2.3.1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Этап 2.3.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 y$ по $y$ равна $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.3.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Этап 2.3.1.1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$0 - 2$

Этап 2.3.1.1.4

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 2$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 2.3.2.2

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 2.3.2.3

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 2.3.5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 2.3.6

Упростим.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u$ на $1 - 2 y$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} x^{2} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\ln (| 1 - 2 y |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} = 2 (- \frac{\ln (| 1 - 2 y |)}{2} + C)$

Этап 3.2.2.1.2

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} = 2 (- \frac{\ln (| 1 - 2 y |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Объединим $C$ и $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} = 2 (- \frac{\ln (| 1 - 2 y |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Этап 3.2.2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{2} = 2 \frac{- \ln (| 1 - 2 y |) + C \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.2.1.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} = 2 \frac{- \ln (| 1 - 2 y |) + C \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.2.1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} = - \ln (| 1 - 2 y |) + C \cdot 2$

Этап 3.2.2.1.4

Перенесем $2$ влево от $C$ .

$x^{2} = - \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + C}$