Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} - 1} y$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x^{2} - 1} y)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $y$ из $\frac{x}{x^{2} - 1} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} - 1})$

Этап 1.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} - 1})$

Этап 1.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} - 1}$

Этап 1.3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} - 1^{2}}$

Этап 1.3.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = (x + 1) (x - 1)$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = (x + 1) (x - 1)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Этап 2.3.1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.3.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.3.1.1.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.3.1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.3.1.1.3.4.2

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.3.1.1.3.5

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.3.1.1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.3.1.1.3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Этап 2.3.1.1.3.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Этап 2.3.1.1.3.8.2

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Этап 2.3.1.1.3.8.3

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Этап 2.3.1.1.3.8.4

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.8.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$2 x + 0$

Этап 2.3.1.1.3.8.4.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 2.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $(x + 1) (x - 1)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| (x + 1) (x - 1) |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| (x + 1) (x - 1) |)}{2} + C$

Этап 3.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| (x + 1) (x - 1) |)}{2} = C$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x (x - 1) + 1 (x - 1) |)}{2} = C$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |)}{2} = C$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.3.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.3.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.3.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.3.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} - x + x - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} + 0 - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.3.2.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.4

Чтобы записать $\ln (| y |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим $\ln (| y |)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.6

Перенесем $2$ влево от $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.7

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим $\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1.1

Упростим $2 \ln (| y |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.7.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| y |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\frac{\ln (y^{2}) - \ln (| x^{2} - 1 |)}{2} = C$

Этап 3.7.1.1.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 1 |})}{2} = C$

Этап 3.7.1.1.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 1^{2} |})}{2} = C$

Этап 3.7.1.1.4.2

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})}{2} = C$

Этап 3.7.1.1.4.3

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1.4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x (x - 1) + 1 (x - 1) |})}{2} = C$

Этап 3.7.1.1.4.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |})}{2} = C$

Этап 3.7.1.1.4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Этап 3.7.1.1.4.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1.4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1.4.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Этап 3.7.1.1.4.4.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Этап 3.7.1.1.4.4.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Этап 3.7.1.1.4.4.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |})}{2} = C$

Этап 3.7.1.1.4.4.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - x + x - 1 |})}{2} = C$

Этап 3.7.1.1.4.4.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 0 - 1 |})}{2} = C$

Этап 3.7.1.1.4.4.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 1 |})}{2} = C$

Этап 3.7.1.1.4.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} - 1^{2} |})}{2} = C$

Этап 3.7.1.1.4.6

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})}{2} = C$

Этап 3.7.1.2

Перепишем $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |}) = C$

Этап 3.7.1.3

Упростим $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\ln ({(\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.7.1.4

Применим правило умножения к $\frac{y^{2}}{| (x + 1) (x - 1) |}$ .

$\ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.7.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.5.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.7.1.5.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.7.1.5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{y^{1}}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.7.1.5.2

Упростим.

$\ln (\frac{y}{{| (x + 1) (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.7.1.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.6.1

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (\frac{y}{{| x (x - 1) + 1 (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.7.1.6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (\frac{y}{{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.7.1.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (\frac{y}{{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.7.1.6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.6.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.7.1.6.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.7.1.6.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.7.1.6.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.7.1.6.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} - x + x - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.7.1.6.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 0 - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.7.1.6.2.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.8

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Этап 3.9

Перепишем $\ln (\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.10

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Этап 3.10.2

Умножим обе части на ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.10.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.1

Сократим общий множитель ${| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{{| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.10.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y = e^{C} {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = C {| x^{2} - 1 |}^{\frac{1}{2}}$