Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = y^{- 2} \ln (x)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{- 2}}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} \ln (x))$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y^{- 2}$ из $y^{- 2} \ln (x)$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} (\ln (x)))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} \ln (x))$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{- 2}} d y = \ln (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{- 2}} d y = \int \ln (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $y^{- 2}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int y^{2} d y = \int \ln (x) d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \ln (x) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Этап 2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - (x + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - x + C_{2}$

Этап 2.3.5

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x \ln (x) - x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = x \ln (x) - x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 (x \ln (x) - x + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 (x \ln (x)) + 3 (- x) + 3 K$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y^{3} = 3 x \ln (x) - 3 x + 3 K$

Этап 3.3

Упростим $3 \ln (x)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$y^{3} = x \ln (x^{3}) - 3 x + 3 K$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{x \ln (x^{3}) - 3 x + 3 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt[3]{x \ln (x^{3}) - 3 x + K}$