Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} - 12 y = 5 x + 8$

Этап 1

Предположим, что все решения имеют вид $y = e^{r x}$ .

Этап 2

Найдем характеристическое уравнение для $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} - 12 y = 5 x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Этап 2.3

Подставим в дифференциальное уравнение.

$r^{2} e^{r x} + r e^{r x} - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Этап 2.4

Вынесем $e^{r x}$ за скобки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + r e^{r x} - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Этап 2.4.2

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} r - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Этап 2.4.3

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $e^{r x} r^{2} + e^{r x} r$ .

$e^{r x} (r^{2} + r) - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Этап 2.4.4

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $- 12 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} + r) + e^{r x} \cdot - 12 = 5 x + 8$

Этап 2.4.5

Вынесем множитель $e^{r x}$ из $e^{r x} (r^{2} + r) + e^{r x} \cdot - 12$ .

$e^{r x} (r^{2} + r - 12) = 5 x + 8$

Этап 2.5

Так как экспоненциальные выражения не могут быть равны нулю, разделите обе части на $e^{r x}$ .

$r^{2} + r - 12 = 5 x + 8$

Этап 3

Решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вычтем $5 x$ из обеих частей уравнения.

$r^{2} + r - 12 - 5 x = 8$

Этап 3.1.1.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$r^{2} + r - 12 - 5 x - 8 = 0$

Этап 3.1.2

Вычтем $8$ из $- 12$ .

$r^{2} + r - 5 x - 20 = 0$

Этап 3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = - 5 x - 20$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $r$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 5 x - 20))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.4

Умножим $- 5$ на $- 4$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.5

Умножим $- 4$ на $- 20$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.6

Добавим $1$ и $80$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Этап 3.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.4

Умножим $- 5$ на $- 4$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.5

Умножим $- 4$ на $- 20$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.6

Добавим $1$ и $80$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Этап 3.5.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$r = \frac{- 1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Этап 3.5.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Этап 3.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{20 x + 81}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Этап 3.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{20 x + 81})$ .

$r = \frac{- 1 (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Этап 3.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Этап 3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4

Умножим $- 5$ на $- 4$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5

Умножим $- 4$ на $- 20$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.6

Добавим $1$ и $80$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Этап 3.6.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$r = \frac{- 1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Этап 3.6.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 - \sqrt{20 x + 81}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Этап 3.6.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{20 x + 81}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{20 x + 81})}{2}$

Этап 3.6.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (\sqrt{20 x + 81})$ .

$r = \frac{- 1 (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Этап 3.6.4.4

Перепишем $- 1 (1 + \sqrt{20 x + 81})$ в виде $- (1 + \sqrt{20 x + 81})$ .

$r = \frac{- (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Этап 3.6.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Этап 3.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Этап 4

По двум найденным значениям $r$ можно найти два решения.

$y_{1} = e^{- \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

$y_{2} = e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

Этап 5

Согласно принципу суперпозиции, общее решение является линейной комбинацией двух решений для однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.

$y = c_{1} e^{- \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2} x} + c_{2} e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $x$ и $\frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{x (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}} + c_{2} e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

Этап 6.2

Объединим $x$ и $\frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{x (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}} + c_{2} e^{- \frac{x (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}}$