Математический анализ Примеры

$t \frac{d y}{d t} - 5 t = - y$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$t \frac{d y}{d t} - 5 t + y = 0$

Этап 1.2

Добавим $5 t$ к обеим частям уравнения.

$t \frac{d y}{d t} + y = 5 t$

Этап 2

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $t y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = y$ .

$t \frac{d}{d t} [y] + y \frac{d}{d t} [t]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d t} [y]$ в виде $y'$ .

$t y' + y \frac{d}{d t} [t]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$t y' + y \cdot 1$

Этап 2.4

Подставим $\frac{d y}{d t}$ вместо $y'$ .

$t \frac{d y}{d t} + y \cdot 1$

Этап 2.5

Изменим порядок $y$ и $1$ .

$t \frac{d y}{d t} + 1 \cdot y$

Этап 2.6

Умножим $y$ на $1$ .

$t \frac{d y}{d t} + y$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [t y] = 5 t$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [t y] d t = \int 5 t d t$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$t y = \int 5 t d t$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$t y = 5 \int t d t$

Этап 6.2

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$t y = 5 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$

Этап 6.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перепишем $5 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ в виде $5 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ .

$t y = 5 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$

Этап 6.3.2

Объединим $5$ и $\frac{1}{2}$ .

$t y = \frac{5}{2} t^{2} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $t y = \frac{5}{2} t^{2} + C$ на $t$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $t y = \frac{5}{2} t^{2} + C$ на $t$ .

$\frac{t y}{t} = \frac{\frac{5}{2} t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t y}{t} = \frac{\frac{5}{2} t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{5}{2} t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель $t^{2}$ и $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Вынесем множитель $t$ из $\frac{5}{2} t^{2}$ .

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t} + \frac{C}{t}$

Этап 7.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t^{1}} + \frac{C}{t}$

Этап 7.3.1.1.2.2

Вынесем множитель $t$ из $t^{1}$ .

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

Этап 7.3.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

Этап 7.3.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\frac{5}{2} t}{1} + \frac{C}{t}$

Этап 7.3.1.1.2.5

Разделим $\frac{5}{2} t$ на $1$ .

$y = \frac{5}{2} t + \frac{C}{t}$

Этап 7.3.1.2

Объединим $\frac{5}{2}$ и $t$ .

$y = \frac{5 t}{2} + \frac{C}{t}$