Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \tan (x) + \sec (x)$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (\tan (x) + \sec (x)) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \tan (x) + \sec (x) d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \tan (x) + \sec (x) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int \tan (x) d x + \int \sec (x) d x$

Этап 2.3.2

Интеграл $\tan (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2} + \int \sec (x) d x$

Этап 2.3.3

Интеграл $\sec (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2} + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Упростим.

$y + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C_{4}$

Этап 2.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$y + C_{1} = \ln (| \sec (x) | | \sec (x) + \tan (x) |) + C_{4}$

Этап 2.3.4.2.2

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$y + C_{1} = \ln (| \sec (x) (\sec (x) + \tan (x)) |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = \ln (| \sec (x) (\sec (x) + \tan (x)) |) + C$