Математический анализ Примеры

$x (y d) y - (x^{2} + 2) d x = 0$

Этап 1

Добавим $(x^{2} + 2) d x$ к обеим частям уравнения.

$x y d y = (x^{2} + 2) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (x^{2} + 2) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{1}{x} (x (y)) d y = \frac{1}{x} (x^{2} + 2) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (x^{2} + 2) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$y d y = \frac{1}{x} (x^{2} + 2) d x$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $x^{2} + 2$ .

$y d y = \frac{x^{2} + 2}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int \frac{x^{2} + 2}{x} d x$

Этап 4.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 2}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{2}{x} d x$

Этап 4.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Этап 4.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Этап 4.3.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Этап 4.3.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Этап 4.3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Этап 4.3.3.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x + \int \frac{2}{x} d x$

Этап 4.3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{2}{x} d x$

Этап 4.3.5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.6

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 (\ln (| x |) + C_{3})$

Этап 4.3.7

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

Этап 5.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (2 \ln (| x |)) + 2 C$

Этап 5.2.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (2 \ln (| x |)) + 2 C$

Этап 5.2.2.1.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = x^{2} + 2 (2 \ln (| x |)) + 2 C$

Этап 5.2.2.1.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y^{2} = x^{2} + 4 \ln (| x |) + 2 C$

Этап 5.3

Упростим $4 \ln (| x |)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$y^{2} = x^{2} + \ln ({| x |}^{4}) + 2 C$

Этап 5.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln ({| x |}^{4}) + 2 C}$

Этап 5.5

Уберем знак модуля в ${| x |}^{4}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

Этап 5.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

Этап 5.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

Этап 5.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + C}$