Математический анализ Примеры

$\sqrt{1 + x^{3}} \frac{d y}{d x} = x^{2} y + x^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $\sqrt{1 + x^{3}} \frac{d y}{d x} = x^{2} y + x^{2}$ на $\sqrt{1 + x^{3}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $\sqrt{1 + x^{3}} \frac{d y}{d x} = x^{2} y + x^{2}$ на $\sqrt{1 + x^{3}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{3}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{3}}} = \frac{x^{2} y}{\sqrt{1 + x^{3}}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{1 + x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{1 + x^{3}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 + x^{3}}} = \frac{x^{2} y}{\sqrt{1 + x^{3}}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{\sqrt{1 + x^{3}}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{\sqrt{1^{3} + x^{3}}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Этап 1.1.3.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{\sqrt{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Этап 1.1.3.1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{\sqrt{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Этап 1.1.3.1.1.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Этап 1.1.3.1.2

Умножим $\frac{x^{2} y}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Этап 1.1.3.1.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.3.1

Умножим $\frac{x^{2} y}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Этап 1.1.3.1.3.2

Возведем $\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Этап 1.1.3.1.3.3

Возведем $\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{1}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Этап 1.1.3.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{1 + 1}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Этап 1.1.3.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{2}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Этап 1.1.3.1.3.6

Перепишем ${\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{2}$ в виде $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ в виде ${((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{({((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Этап 1.1.3.1.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Этап 1.1.3.1.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{2}{2}}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Этап 1.1.3.1.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{2}{2}}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Этап 1.1.3.1.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{1}} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Этап 1.1.3.1.3.6.5

Упростим.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{3}}}$

Этап 1.1.3.1.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2}}{\sqrt{1^{3} + x^{3}}}$

Этап 1.1.3.1.4.2

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2}}{\sqrt{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}}$

Этап 1.1.3.1.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.4.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2}}{\sqrt{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}}$

Этап 1.1.3.1.4.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$

Этап 1.1.3.1.5

Умножим $\frac{x^{2}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$

Этап 1.1.3.1.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.6.1

Умножим $\frac{x^{2}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$

Этап 1.1.3.1.6.2

Возведем $\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}$

Этап 1.1.3.1.6.3

Возведем $\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{1}}$

Этап 1.1.3.1.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{1 + 1}}$

Этап 1.1.3.1.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{2}}$

Этап 1.1.3.1.6.6

Перепишем ${\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}^{2}$ в виде $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ в виде ${((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{({((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.3.1.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.1.3.1.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.1.3.1.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.1.3.1.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{{((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{1}}$

Этап 1.1.3.1.6.6.5

Упростим.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Этап 1.1.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Этап 1.1.3.2.2

Вынесем множитель $x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ из $x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ из $x^{2} y \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (y) + x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Этап 1.1.3.2.2.2

Вынесем множитель $x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ из $x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (y) + x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (1)}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Этап 1.1.3.2.2.3

Вынесем множитель $x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ из $x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (y) + x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (y + 1)}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (y + 1)$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (\frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (y + 1))$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $y + 1$ из $\frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})})$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})})$

Этап 1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = y + 1$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = y + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x + x^{2})}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{2} = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Тогда $d u_{2} = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{2} = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x + x^{2})]$

Этап 2.3.1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 1 + x$ и $g (x) = 1 - x + x^{2}$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x + x^{2}] + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.1

По правилу суммы производная $1 - x + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(1 + x) (- 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.1.1.3.8

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.1.1.3.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.1.1.3.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.1.1.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \cdot 1$

Этап 2.3.1.1.3.12

Умножим $1 - x + x^{2}$ на $1$ .

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 2.3.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 2.3.1.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 2.3.1.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 2.3.1.1.4.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 2.3.1.1.4.4.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$- 1 - 1 \cdot x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 2.3.1.1.4.4.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$- 1 - x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 2.3.1.1.4.4.4

Умножим $2$ на $1$ .

$- 1 - x + 2 x + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 2.3.1.1.4.4.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x) + 1 - x + x^{2}$

Этап 2.3.1.1.4.4.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 - x + x^{2}$

Этап 2.3.1.1.4.4.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{1 + 1} + 1 - x + x^{2}$

Этап 2.3.1.1.4.4.8

Добавим $1$ и $1$ .

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Этап 2.3.1.1.4.4.9

Добавим $- x$ и $2 x$ .

$- 1 + x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

Этап 2.3.1.1.4.4.10

Добавим $- 1$ и $1$ .

$x + 2 x^{2} + 0 - x + x^{2}$

Этап 2.3.1.1.4.4.11

Добавим $x + 2 x^{2}$ и $0$ .

$x + 2 x^{2} - x + x^{2}$

Этап 2.3.1.1.4.4.12

Вычтем $x$ из $x$ .

$2 x^{2} + 0 + x^{2}$

Этап 2.3.1.1.4.4.13

Добавим $2 x^{2}$ и $0$ .

$2 x^{2} + x^{2}$

Этап 2.3.1.1.4.4.14

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2} \cdot 3} d u_{2}$

Этап 2.3.2.2

Перенесем $3$ влево от $u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{3 u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{2}}$ в виде ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Перенесем ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 2.3.4.2.2

Умножим $u_{2}$ на ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.2.1

Умножим $u_{2}$ на ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.2.1.1

Возведем $u_{2}$ в степень $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 2.3.4.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 2.3.4.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 2.3.4.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

Этап 2.3.4.2.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 2.3.4.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.3.1

Вынесем ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Этап 2.3.4.3.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Этап 2.3.4.3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.4.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Перепишем $\frac{1}{3} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ в виде $\frac{1}{3} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.6.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2}{3} {((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{2}{3} {((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{\frac{2}{3} {((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}} + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y + 1 |) = \frac{2}{3} {((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{2}{3} {((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}} + C} = | y + 1 |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}} + C}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}} + C}$

Этап 3.3.2

Упростим $e^{\frac{2}{3} \cdot {((1 + x) (1 - x + x^{2}))}^{\frac{1}{2}} + C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Развернем $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Умножим $1$ на $1$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Этап 3.3.2.1.2.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Этап 3.3.2.1.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Этап 3.3.2.1.2.4

Умножим $x$ на $1$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Этап 3.3.2.1.2.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Этап 3.3.2.1.2.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.6.1

Перенесем $x$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Этап 3.3.2.1.2.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Этап 3.3.2.1.2.7

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.7.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.7.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Этап 3.3.2.1.2.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Этап 3.3.2.1.2.7.2

Добавим $1$ и $2$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Этап 3.3.2.1.3

Объединим противоположные члены в $1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

Добавим $- x$ и $x$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Этап 3.3.2.1.3.2

Добавим $1 + x^{2}$ и $0$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 + x^{2} - x^{2} + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Этап 3.3.2.1.3.3

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 + 0 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Этап 3.3.2.1.3.4

Добавим $1$ и $0$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2}{3} \cdot {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Этап 3.3.2.1.4

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3} + C}$

Этап 3.3.2.2

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3} + C \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 3.3.2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Объединим $C$ и $\frac{3}{3}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{C \cdot 3}{3}}$

Этап 3.3.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$| y + 1 | = e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C \cdot 3}{3}}$

Этап 3.3.2.4

Перенесем $3$ влево от $C$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + 3 C}{3}}$

Этап 3.3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + 3 C}{3}}$

Этап 3.3.4

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = \pm e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + 3 C}{3}} - 1$

Этап 3.3.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Разобьем дробь $\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + 3 C}{3}$ на две дроби.

$y = \pm e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{3 C}{3}} - 1$

Этап 3.3.4.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{3 C}{3}} - 1$

Этап 3.3.4.2.2.2

Разделим $C$ на $1$ .

$y = \pm e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3} + C} - 1$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3} + C}$ в виде $e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3}} e^{C} - 1$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3}} - 1$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{\frac{2 {(1 + x^{3})}^{\frac{1}{2}}}{3}} - 1$