Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{1}{x^{3}}$

Этап 1

Проинтегрируем обе части по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Первая производная равна интегралу от второй производной по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 1.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{d y}{d x} = - \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 1.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{d y}{d x} = - \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 1.3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 1.3.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \int x^{- 3} d x$

Этап 1.4

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{1})$

Этап 1.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{1})$

Этап 1.5.1.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1})$

Этап 1.5.2

Упростим.

$\frac{d y}{d x} = - - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}$

Этап 1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}$

Этап 1.5.3.2

Умножим $\frac{1}{2 x^{2}}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}$

Этап 2

Перепишем уравнение.

$d y = (\frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}) d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1} d x$

Этап 3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1} d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{2 x^{2}} d x + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int x^{- 2} d x + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.4

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2} (- x^{- 1} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Этап 3.3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{2} = \frac{1}{2} (- x^{- 1} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Этап 3.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Упростим.

$y + C_{2} = \frac{1}{2} (- \frac{1}{x}) + C_{1} x + C_{5}$

Этап 3.3.6.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{2} = - \frac{1}{2 x} + C_{1} x + C_{5}$

Этап 3.3.7

Изменим порядок членов.

$y + C_{2} = C_{1} x - \frac{1}{2 x} + C_{5}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $D$ .

$y = C x - \frac{1}{2 x} + D$