Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Этап 1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 - 2 y}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1) - 2 y}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1) + 2 (- y)}$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (1) + 2 (- y)$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1 - y)}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C_{1}$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - y} d y$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 1 - y$ . Тогда $d u = - d y$ , следовательно $- d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 1 - y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u} d u$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 2.3.5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- (\ln (| u |) + C_{2}))$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Упростим.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- \ln (| u |)) + C_{2}$

Этап 2.3.6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{\ln (| u |)}{2} + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u$ на $1 - y$ .

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} + C_{2}$

Этап 2.3.8

Изменим порядок членов.

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\arctan (x) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из арктангенса.

$x = \tan (- \frac{1}{2} \cdot \ln (| 1 - y |) + C)$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Изменим порядок $\ln (| 1 - y |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$x = \tan (- (\frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)) + C)$

Этап 3.2.1.2

Упростим $\frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$x = \tan (- \ln ({| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}) + C)$