Математический анализ Примеры

$2 x (y + 1) d x - (x^{2} + 1) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $2 x (y + 1) d x$ из обеих частей уравнения.

$- (x^{2} + 1) d y = - 2 x (y + 1) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- (x^{2} + 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)}$ в числитель.

$\frac{- 1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - 2 \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Этап 3.5

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)}$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $y + 1$ из $(x^{2} + 1) (y + 1)$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{(y + 1) (x^{2} + 1)} (x (y + 1)) d x$

Этап 3.6.2

Вынесем множитель $y + 1$ из $x (y + 1)$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{(y + 1) (x^{2} + 1)} ((y + 1) x) d x$

Этап 3.6.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{(y + 1) (x^{2} + 1)} ((y + 1) x) d x$

Этап 3.6.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{x^{2} + 1} x d x$

Этап 3.7

Объединим $\frac{- 2}{x^{2} + 1}$ и $x$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.2.2

Пусть $u_{1} = y + 1$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Пусть $u_{1} = y + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Дифференцируем $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 4.2.2.1.2

По правилу суммы производная $y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 4.2.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 4.2.2.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.2.2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.2.3

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.2.4

Упростим.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.2.5

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y + 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.3.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 4.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.3.4

Пусть $u_{2} = x^{2} + 1$ . Тогда $d u_{2} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Пусть $u_{2} = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 4.3.4.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3.4.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 4.3.4.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 4.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 4.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 4.3.5.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 4.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 2$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.7.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.7.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.8

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 4.3.9

Упростим.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 4.3.10

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} + 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| y + 1 |) = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| x^{2} + 1 |) = C$

Этап 5.2

Вычтем $\ln (| x^{2} + 1 |)$ из обеих частей уравнения.

$- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x^{2} + 1 |)$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x^{2} + 1 |)$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x^{2} + 1 |)$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (| y + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Этап 5.3.2.2

Разделим $\ln (| y + 1 |)$ на $1$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Этап 5.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Этап 5.3.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{1}$

Этап 5.3.3.1.4

Разделим $\ln (| x^{2} + 1 |)$ на $1$ .

$\ln (| y + 1 |) = - C + \ln (| x^{2} + 1 |)$

Этап 5.4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| x^{2} + 1 |) = - C$

Этап 5.5

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |}) = - C$

Этап 5.6

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |})} = e^{- C}$

Этап 5.7

Перепишем $\ln (\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |}) = - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |}$

Этап 5.8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} = e^{- C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} = e^{- C}$

Этап 5.8.2

Умножим обе части на $| x^{2} + 1 |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} | x^{2} + 1 | = e^{- C} | x^{2} + 1 |$

Этап 5.8.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1

Сократим общий множитель $| x^{2} + 1 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} | x^{2} + 1 | = e^{- C} | x^{2} + 1 |$

Этап 5.8.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y + 1 | = e^{- C} | x^{2} + 1 |$

Этап 5.8.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{- C} | x^{2} + 1 |$ .

$| y + 1 | = | x^{2} + 1 | e^{- C}$

Этап 5.8.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | x^{2} + 1 | e^{- C}$

Этап 5.8.4.3

Изменим порядок множителей в $\pm | x^{2} + 1 | e^{- C}$ .

$y + 1 = \pm e^{- C} | x^{2} + 1 |$

Этап 5.8.4.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = \pm e^{- C} | x^{2} + 1 | - 1$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm C | x^{2} + 1 | - 1$

Этап 6.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C | x^{2} + 1 | - 1$