Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = y^{3} x e^{x^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x e^{x^{2}})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $y^{3} x e^{x^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x e^{x^{2}}))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x e^{x^{2}}))$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x e^{x^{2}}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{3}} d y = x e^{x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int x e^{x^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x e^{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int x e^{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int x e^{x^{2}} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 3}$ по $y$ имеет вид $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int x e^{x^{2}} d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int x e^{x^{2}} d x$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{y^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int x e^{x^{2}} d x$

Этап 2.2.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int x e^{x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Тогда $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Этап 2.3.1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Этап 2.3.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Этап 2.3.1.1.4.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} u_{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{e^{x^{2}}}{2} + K$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 y^{2}, 2, 1$

Этап 3.2.2

Так как $2 y^{2}, 2, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $2, 2, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{2}$ .

Этап 3.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 3.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.6

НОК $2, 2, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 3.2.7

Множители $y^{2}$ — $y \cdot y$ , то есть $y$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ встречается $2$ раз.

Этап 3.2.8

НОК $y^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y \cdot y$

Этап 3.2.9

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2}$

Этап 3.2.10

НОК $2 y^{2}, 2, 1$ представляет собой произведение числовой части $2$ и переменной части.

$2 y^{2}$

Этап 3.3

Каждый член в $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{e^{x^{2}}}{2} + K$ умножим на $2 y^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{e^{x^{2}}}{2} + K$ на $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{e^{x^{2}}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 y^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{e^{x^{2}}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{e^{x^{2}}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = \frac{e^{x^{2}}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 = 2 \frac{e^{x^{2}}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- 1 = 2 \frac{e^{x^{2}}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Этап 3.3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- 1 = e^{x^{2}} y^{2} + K (2 y^{2})$

Этап 3.3.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 = e^{x^{2}} y^{2} + 2 K y^{2}$

Этап 3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $e^{x^{2}} y^{2} + 2 K y^{2}$ .

$- 1 = y^{2} e^{x^{2}} + 2 K y^{2}$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $y^{2} e^{x^{2}} + 2 K y^{2} = - 1$ .

$y^{2} e^{x^{2}} + 2 K y^{2} = - 1$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} e^{x^{2}} + 2 K y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} e^{x^{2}}$ .

$y^{2} (e^{x^{2}}) + 2 K y^{2} = - 1$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $2 K y^{2}$ .

$y^{2} (e^{x^{2}}) + y^{2} (2 K) = - 1$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} (e^{x^{2}}) + y^{2} (2 K)$ .

$y^{2} (e^{x^{2}} + 2 K) = - 1$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $y^{2} (e^{x^{2}} + 2 K) = - 1$ на $e^{x^{2}} + 2 K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $y^{2} (e^{x^{2}} + 2 K) = - 1$ на $e^{x^{2}} + 2 K$ .

$\frac{y^{2} (e^{x^{2}} + 2 K)}{e^{x^{2}} + 2 K} = \frac{- 1}{e^{x^{2}} + 2 K}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $e^{x^{2}} + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} (e^{x^{2}} + 2 K)}{e^{x^{2}} + 2 K} = \frac{- 1}{e^{x^{2}} + 2 K}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{e^{x^{2}} + 2 K}$

Этап 3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{1}{e^{x^{2}} + 2 K}$

Этап 3.4.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + 2 K}}$

Этап 3.4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + 2 K}}$

Этап 3.4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + 2 K}}$

Этап 3.4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + 2 K}}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{e^{x^{2}} + K}}$