Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $\frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}}$ и $x^{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{(x^{3} - 21 x) x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} x^{3} - 21 x \cdot x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Этап 2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3 + 3} - 21 x \cdot x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Этап 2.3.4

Добавим $3$ и $3$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x \cdot x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Этап 2.3.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 (x^{1} x^{3})}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Этап 2.3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{1 + 3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Этап 2.3.7

Добавим $1$ и $3$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Этап 2.3.8

Изменим порядок $5$ и $4 x$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{4 x + 5 - x^{2}} d x$

Этап 2.3.9

Перенесем $5$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{4 x - x^{2} + 5} d x$

Этап 2.3.10

Изменим порядок $4 x$ и $- x^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Этап 2.3.11

Разделим $x^{6} - 21 x^{4}$ на $- x^{2} + 4 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 2.3.11.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{6}$ на член с максимальной степенью в делителе $- x^{2}$ .

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 2.3.11.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

Этап 2.3.11.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{6} - 4 x^{5} - 5 x^{4}$ .

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

Этап 2.3.11.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

Этап 2.3.11.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

Этап 2.3.11.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $- x^{2}$ .

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

Этап 2.3.11.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

Этап 2.3.11.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{5} - 16 x^{4} - 20 x^{3}$ .

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

Этап 2.3.11.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

Этап 2.3.11.11

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

Этап 2.3.11.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $20 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $- x^{2}$ .

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

Этап 2.3.11.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

Этап 2.3.11.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $20 x^{3} - 80 x^{2} - 100 x$ .

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

Этап 2.3.11.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

Этап 2.3.11.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

Этап 2.3.11.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $80 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $- x^{2}$ .

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

Этап 2.3.11.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

$80 x^{2}$

$320 x$

$400$

Этап 2.3.11.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $80 x^{2} - 320 x - 400$ .

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

$80 x^{2}$

$320 x$

$400$

Этап 2.3.11.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

$80 x^{2}$

$320 x$

$400$

$420 x$

$400$

Этап 2.3.11.21

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$y + C_{1} = \int - x^{4} - 4 x^{3} - 20 x - 80 + \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Этап 2.3.12

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int - x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Этап 2.3.13

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \int x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Этап 2.3.14

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + \int - 4 x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Этап 2.3.15

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 \int x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Этап 2.3.16

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Этап 2.3.17

Поскольку $- 20$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 20$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 \int x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Этап 2.3.18

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Этап 2.3.19

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Этап 2.3.20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.20.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Этап 2.3.20.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Этап 2.3.21

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.1.1.1

Вынесем множитель $20$ из $420 x + 400$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.1.1.1.1

Вынесем множитель $20$ из $420 x$ .

$\frac{20 (21 x) + 400}{- x^{2} + 4 x + 5}$

Этап 2.3.21.1.1.1.2

Вынесем множитель $20$ из $400$ .

$\frac{20 (21 x) + 20 (20)}{- x^{2} + 4 x + 5}$

Этап 2.3.21.1.1.1.3

Вынесем множитель $20$ из $20 (21 x) + 20 (20)$ .

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} + 4 x + 5}$

Этап 2.3.21.1.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.1.1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 5 = - 5$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.1.1.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} + 4 (x) + 5}$

Этап 2.3.21.1.1.2.1.2

Запишем $4$ как $- 1$ плюс $5$

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} + (- 1 + 5) x + 5}$

Этап 2.3.21.1.1.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} - 1 x + 5 x + 5}$

Этап 2.3.21.1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.1.1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{20 (21 x + 20)}{(- x^{2} - 1 x) + 5 x + 5}$

Этап 2.3.21.1.1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{20 (21 x + 20)}{x (- x - 1) - 5 (- x - 1)}$

Этап 2.3.21.1.1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 1$ .

$\frac{20 (21 x + 20)}{(- x - 1) (x - 5)}$

Этап 2.3.21.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{- x - 1}$

Этап 2.3.21.1.3

$\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$

Этап 2.3.21.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(- x - 1) (x - 5)$ .

$\frac{20 (21 x + 20) (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Этап 2.3.21.1.5

Сократим общий множитель $- x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{20 (21 x + 20) (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Этап 2.3.21.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{20 (21 x + 20) (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Этап 2.3.21.1.6

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{20 (21 x + 20) (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Этап 2.3.21.1.6.2

Разделим $20 (21 x + 20)$ на $1$ .

$20 (21 x + 20) = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Этап 2.3.21.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$20 (21 x) + 20 \cdot 20 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Этап 2.3.21.1.8

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.1.8.1

Умножим $21$ на $20$ .

$420 x + 20 \cdot 20 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Этап 2.3.21.1.8.2

Умножим $20$ на $20$ .

$420 x + 400 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Этап 2.3.21.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.1.9.1

Сократим общий множитель $- x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.1.9.1.1

Сократим общий множитель.

$420 x + 400 = \frac{A (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Этап 2.3.21.1.9.1.2

Разделим $(A) (x - 5)$ на $1$ .

$420 x + 400 = (A) (x - 5) + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Этап 2.3.21.1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$420 x + 400 = A x + A \cdot - 5 + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Этап 2.3.21.1.9.3

Перенесем $- 5$ влево от $A$ .

$420 x + 400 = A x - 5 \cdot A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Этап 2.3.21.1.9.4

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.1.9.4.1

Сократим общий множитель.

$420 x + 400 = A x - 5 A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Этап 2.3.21.1.9.4.2

Разделим $(B) (- x - 1)$ на $1$ .

$420 x + 400 = A x - 5 A + (B) (- x - 1)$

Этап 2.3.21.1.9.5

Применим свойство дистрибутивности.

$420 x + 400 = A x - 5 A + B (- x) + B \cdot - 1$

Этап 2.3.21.1.9.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$420 x + 400 = A x - 5 A - B x + B \cdot - 1$

Этап 2.3.21.1.9.7

Перенесем $- 1$ влево от $B$ .

$420 x + 400 = A x - 5 A - B x - 1 \cdot B$

Этап 2.3.21.1.9.8

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$420 x + 400 = A x - 5 A - B x - B$

Этап 2.3.21.1.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.1.10.1

Перенесем $B$ .

$420 x + 400 = A x - 5 A - x B - B$

Этап 2.3.21.1.10.2

Перенесем $- 5 A$ .

$420 x + 400 = A x - x B - 5 A - B$

Этап 2.3.21.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$420 = A - 1 B$

Этап 2.3.21.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$400 = - 5 A - 1 B$

Этап 2.3.21.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$420 = A - 1 B$

$400 = - 5 A - 1 B$

$420 = A - 1 B$

$400 = - 5 A - 1 B$

Этап 2.3.21.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.3.1

Решим относительно $A$ в $420 = A - 1 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A - 1 B = 420$ .

$A - 1 B = 420$

$400 = - 5 A - 1 B$

Этап 2.3.21.3.1.2

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$A - B = 420$

$400 = - 5 A - 1 B$

Этап 2.3.21.3.1.3

Добавим $B$ к обеим частям уравнения.

$A = 420 + B$

$400 = - 5 A - 1 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 5 A - 1 B$

Этап 2.3.21.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $420 + B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $400 = - 5 A - 1 B$ на $420 + B$ .

$400 = - 5 (420 + B) - 1 B$

$A = 420 + B$

Этап 2.3.21.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.3.2.2.1

Упростим $- 5 (420 + B) - 1 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$400 = - 5 \cdot 420 - 5 B - 1 B$

$A = 420 + B$

Этап 2.3.21.3.2.2.1.1.2

Умножим $- 5$ на $420$ .

$400 = - 2100 - 5 B - 1 B$

$A = 420 + B$

Этап 2.3.21.3.2.2.1.1.3

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$400 = - 2100 - 5 B - B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 5 B - B$

$A = 420 + B$

Этап 2.3.21.3.2.2.1.2

Вычтем $B$ из $- 5 B$ .

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

Этап 2.3.21.3.3

Решим относительно $B$ в $400 = - 2100 - 6 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 2100 - 6 B = 400$ .

$- 2100 - 6 B = 400$

$A = 420 + B$

Этап 2.3.21.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.3.3.2.1

Добавим $2100$ к обеим частям уравнения.

$- 6 B = 400 + 2100$

$A = 420 + B$

Этап 2.3.21.3.3.2.2

Добавим $400$ и $2100$ .

$- 6 B = 2500$

$A = 420 + B$

$- 6 B = 2500$

$A = 420 + B$

Этап 2.3.21.3.3.3

Разделим каждый член $- 6 B = 2500$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.3.3.3.1

Разделим каждый член $- 6 B = 2500$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

Этап 2.3.21.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

Этап 2.3.21.3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

Этап 2.3.21.3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.3.3.3.3.1

Сократим общий множитель $2500$ и $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.3.3.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2500$ .

$B = \frac{2 (1250)}{- 6}$

$A = 420 + B$

Этап 2.3.21.3.3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.3.3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$B = \frac{2 \cdot 1250}{2 \cdot - 3}$

$A = 420 + B$

Этап 2.3.21.3.3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$B = \frac{2 \cdot 1250}{2 \cdot - 3}$

$A = 420 + B$

Этап 2.3.21.3.3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$B = \frac{1250}{- 3}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{1250}{- 3}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{1250}{- 3}$

$A = 420 + B$

Этап 2.3.21.3.3.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

Этап 2.3.21.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- \frac{1250}{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 420 + B$ на $- \frac{1250}{3}$ .

$A = 420 - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Этап 2.3.21.3.4.2

Упростим $A = 420 - \frac{1250}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.3.4.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.3.4.2.1.1

Избавимся от скобок.

$A = 420 - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Этап 2.3.21.3.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.3.4.2.2.1

Упростим $420 - \frac{1250}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.3.4.2.2.1.1

Чтобы записать $420$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A = 420 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Этап 2.3.21.3.4.2.2.1.2

Объединим $420$ и $\frac{3}{3}$ .

$A = \frac{420 \cdot 3}{3} - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Этап 2.3.21.3.4.2.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{420 \cdot 3 - 1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Этап 2.3.21.3.4.2.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.3.4.2.2.1.4.1

Умножим $420$ на $3$ .

$A = \frac{1260 - 1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Этап 2.3.21.3.4.2.2.1.4.2

Вычтем $1250$ из $1260$ .

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Этап 2.3.21.3.5

Перечислим все решения.

$A = \frac{10}{3}, B = - \frac{1250}{3}$

Этап 2.3.21.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{10}{3}}{- x - 1} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Этап 2.3.21.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{- x - 1} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Этап 2.3.21.5.2

Умножим $\frac{10}{3}$ на $\frac{1}{- x - 1}$ .

$\frac{10}{3 (- x - 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Этап 2.3.21.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{10}{3 (- (x) - 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Этап 2.3.21.5.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{10}{3 (- (x) - 1 \cdot 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Этап 2.3.21.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{10}{3 (- (x + 1))} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Этап 2.3.21.5.6

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.21.5.6.1

Перепишем $- (x + 1)$ в виде $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{10}{3 (- 1 (x + 1))} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Этап 2.3.21.5.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{10}{3 (x + 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Этап 2.3.21.5.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{10}{3 (x + 1)} - \frac{1250}{3} \cdot \frac{1}{x - 5}$

Этап 2.3.21.5.8

Умножим $\frac{1}{x - 5}$ на $\frac{1250}{3}$ .

$- \frac{10}{3 (x + 1)} - \frac{1250}{(x - 5) \cdot 3}$

Этап 2.3.21.5.9

Перенесем $3$ влево от $x - 5$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int - \frac{10}{3 (x + 1)} - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Этап 2.3.22

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int - \frac{10}{3 (x + 1)} d x + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Этап 2.3.23

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int - \frac{10}{3 (x + 1)} d x + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Этап 2.3.24

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \int \frac{10}{3 (x + 1)} d x + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Этап 2.3.25

Поскольку $\frac{10}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{10}{3}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - (\frac{10}{3} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Этап 2.3.26

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.26.1

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.26.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.3.26.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.26.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.26.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.26.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.26.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Этап 2.3.27

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Этап 2.3.28

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - \int \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Этап 2.3.29

Поскольку $\frac{1250}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1250}{3}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - (\frac{1250}{3} \int \frac{1}{x - 5} d x)$

Этап 2.3.30

Пусть $u_{2} = x - 5$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.30.1

Пусть $u_{2} = x - 5$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.30.1.1

Дифференцируем $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Этап 2.3.30.1.2

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.3.30.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.3.30.1.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.30.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.30.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - \frac{1250}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.31

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - \frac{1250}{3} (\ln (| u_{2} |) + C_{7})$

Этап 2.3.32

Упростим.

$y + C_{1} = - \frac{x^{5}}{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10 \ln (| u_{1} |)}{3} - \frac{1250}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{8}$

Этап 2.3.33

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.33.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{x^{5}}{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10 \ln (| x + 1 |)}{3} - \frac{1250}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{8}$

Этап 2.3.33.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 5$ .

$y + C_{1} = - \frac{x^{5}}{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10 \ln (| x + 1 |)}{3} - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) + C_{8}$

Этап 2.3.34

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = - \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10}{3} \ln (| x + 1 |) - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) + C_{8}$

Этап 2.3.35

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = - x^{4} - 10 x^{2} - \frac{1}{5} x^{5} - \frac{10}{3} \ln (| x + 1 |) - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) - 80 x + C_{8}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = - x^{4} - 10 x^{2} - \frac{1}{5} x^{5} - \frac{10}{3} \ln (| x + 1 |) - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) - 80 x + C$