Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 3 x^{2} + x - 2$

Этап 1

Проинтегрируем обе части по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Первая производная равна интегралу от второй производной по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int 3 x^{2} + x - 2 d x$

Этап 1.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{d y}{d x} = \int 3 x^{2} d x + \int x d x + \int - 2 d x$

Этап 1.3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{d y}{d x} = 3 \int x^{2} d x + \int x d x + \int - 2 d x$

Этап 1.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1}) + \int x d x + \int - 2 d x$

Этап 1.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 2 d x$

Этап 1.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{1}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 2 d x$

Этап 1.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{d y}{d x} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{1}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 2 x + C_{3}$

Этап 1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Упростим.

$\frac{d y}{d x} = x^{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + C_{4}$

Этап 1.8.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d y}{d x} = x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C_{4}$

Этап 2

Перепишем уравнение.

$d y = (x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C_{4}) d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C_{4} d x$

Этап 3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{5} = \int x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C_{4} d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{5} = \int x^{3} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int C_{4} d x$

Этап 3.3.2

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{5} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{6} + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int C_{4} d x$

Этап 3.3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{5} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{6} + \frac{1}{2} \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int C_{4} d x$

Этап 3.3.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{5} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{6} + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{7}) + \int - 2 x d x + \int C_{4} d x$

Этап 3.3.5

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$y + C_{5} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{6} + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{7}) - 2 \int x d x + \int C_{4} d x$

Этап 3.3.6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{5} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{6} + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{7}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{8}) + \int C_{4} d x$

Этап 3.3.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{5} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{6} + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{7}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{8}) + C_{4} x + C_{9}$

Этап 3.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y + C_{5} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{6} + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{7}) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{8}) + C_{4} x + C_{9}$

Этап 3.3.8.2

Упростим.

$y + C_{5} = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{6} - x^{2} + C_{4} x + C_{10}$

Этап 3.3.8.3

Изменим порядок членов.

$y + C_{5} = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{6} x^{3} - x^{2} + C_{4} x + C_{10}$

Этап 3.3.9

Изменим порядок членов.

$y + C_{5} = - x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{6} x^{3} + C_{4} x + C_{10}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $D$ .

$y = - x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{6} x^{3} + C x + D$