Математический анализ Примеры

$2 x (1 + y^{2}) - y \frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot 1 + 2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 0$

Этап 1.1.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 x + 2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = 0$

Этап 1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} \cdot 1 - y \frac{d y}{d x} x^{2} = 0$

Этап 1.1.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 x + 2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} - y \frac{d y}{d x} x^{2} = 0$

Этап 1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d y}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$2 x y^{2} - y \frac{d y}{d x} - y \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x$

Этап 1.1.2.2

Вычтем $2 x y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- y \frac{d y}{d x} - y \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x - 2 x y^{2}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $y \frac{d y}{d x}$ из $- y \frac{d y}{d x} - y \frac{d y}{d x} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем множитель $y \frac{d y}{d x}$ из $- y \frac{d y}{d x}$ .

$y \frac{d y}{d x} \cdot - 1 - y \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x - 2 x y^{2}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем множитель $y \frac{d y}{d x}$ из $- y \frac{d y}{d x} x^{2}$ .

$y \frac{d y}{d x} \cdot - 1 + y \frac{d y}{d x} (- 1 x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем множитель $y \frac{d y}{d x}$ из $y \frac{d y}{d x} \cdot - 1 + y \frac{d y}{d x} (- 1 x^{2})$ .

$y \frac{d y}{d x} (- 1 - 1 x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$

Этап 1.1.4

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$

Этап 1.1.5

Разделим каждый член $y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$ на $y (- 1 - x^{2})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Разделим каждый член $y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2}) = - 2 x - 2 x y^{2}$ на $y (- 1 - x^{2})$ .

$\frac{y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2})}{y (- 1 - x^{2})} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

Этап 1.1.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2})}{y (- 1 - x^{2})} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

Этап 1.1.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2})}{- 1 - x^{2}} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

Этап 1.1.5.2.2

Сократим общий множитель $- 1 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} (- 1 - x^{2})}{- 1 - x^{2}} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

Этап 1.1.5.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

Этап 1.1.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y^{2}}{y (- 1 - x^{2})}$

Этап 1.1.5.3.1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- 2 x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{y (- 2 x y)}{y (- 1 - x^{2})}$

Этап 1.1.5.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{y (- 2 x y)}{y (- 1 - x^{2})}$

Этап 1.1.5.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} + \frac{- 2 x y}{- 1 - x^{2}}$

Этап 1.1.5.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} - \frac{2 x y}{- 1 - x^{2}}$

Этап 1.1.5.3.2

Чтобы записать $- \frac{2 x y}{- 1 - x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} - \frac{2 x y}{- 1 - x^{2}} \cdot \frac{y}{y}$

Этап 1.1.5.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $y (- 1 - x^{2})$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.3.1

Умножим $\frac{2 x y}{- 1 - x^{2}}$ на $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} - \frac{2 x y \cdot y}{(- 1 - x^{2}) y}$

Этап 1.1.5.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(- 1 - x^{2}) y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y (- 1 - x^{2})} - \frac{2 x y \cdot y}{y (- 1 - x^{2})}$

Этап 1.1.5.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x - 2 x y \cdot y}{y (- 1 - x^{2})}$

Этап 1.1.5.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.5.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x - 2 x y \cdot y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.5.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1) - 2 x y \cdot y}{y (- 1 - x^{2})}$

Этап 1.1.5.3.5.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x y \cdot y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1) + 2 x (- 1 y \cdot y)}{y (- 1 - x^{2})}$

Этап 1.1.5.3.5.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- 1) + 2 x (- 1 y \cdot y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 y \cdot y)}{y (- 1 - x^{2})}$

Этап 1.1.5.3.5.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.5.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 (y^{1} y))}{y (- 1 - x^{2})}$

Этап 1.1.5.3.5.2.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 (y^{1} y^{1}))}{y (- 1 - x^{2})}$

Этап 1.1.5.3.5.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 y^{1 + 1})}{y (- 1 - x^{2})}$

Этап 1.1.5.3.5.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - 1 y^{2})}{y (- 1 - x^{2})}$

Этап 1.1.5.3.5.3

Перепишем $- 1 y^{2}$ в виде $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 - y^{2})}{y (- 1 - x^{2})}$

Этап 1.1.5.3.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.6.1

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1) - y^{2})}{y (- 1 - x^{2})}$

Этап 1.1.5.3.6.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1) - (y^{2}))}{y (- 1 - x^{2})}$

Этап 1.1.5.3.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 - x^{2})}$

Этап 1.1.5.3.6.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 (1) - x^{2})}$

Этап 1.1.5.3.6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 (1) - (x^{2}))}$

Этап 1.1.5.3.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (x^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 (1 + x^{2}))}$

Этап 1.1.5.3.6.7

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (- 1 (1 + y^{2}))}{y (- 1 (1 + x^{2}))}$

Этап 1.1.5.3.6.8

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (1 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{y}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ на $\frac{1 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{2 x (1 + y^{2})}{(1 + x^{2}) y}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{2 x (1 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{2 x (1 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{2 x (1 + y^{2})}{1 + x^{2}}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель $1 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Вынесем множитель $1 + y^{2}$ из $2 x (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + y^{2}) (2 x)}{1 + x^{2}}$

Этап 1.4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + y^{2}) (2 x)}{1 + x^{2}}$

Этап 1.4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 y d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $1 + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2.1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $0$ и $2 y$ .

$2 y$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Тогда $d u_{2} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Этап 2.3.2.1.5

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 2.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.5.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.5.3

Умножим $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.6

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C$

Этап 3.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| 1 + x^{2} |) = 2 C$

Этап 3.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим $\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| 1 + x^{2} |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Упростим $- 2 \ln (| 1 + x^{2} |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln ({| 1 + x^{2} |}^{2}) = 2 C$

Этап 3.4.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| 1 + x^{2} |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln ({(1 + x^{2})}^{2}) = 2 C$

Этап 3.4.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}}) = 2 C$

Этап 3.5

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}})} = e^{2 C}$

Этап 3.6

Перепишем $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}}) = 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}} = e^{2 C}$

Этап 3.7.2

Умножим обе части на ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C} {(1 + x^{2})}^{2}$

Этап 3.7.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Сократим общий множитель ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{{(1 + x^{2})}^{2}} {(1 + x^{2})}^{2} = e^{2 C} {(1 + x^{2})}^{2}$

Этап 3.7.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} {(1 + x^{2})}^{2}$

Этап 3.7.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Упростим $e^{2 C} {(1 + x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1.1

Перепишем ${(1 + x^{2})}^{2}$ в виде $(1 + x^{2}) (1 + x^{2})$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} ((1 + x^{2}) (1 + x^{2}))$

Этап 3.7.4.1.2

Развернем $(1 + x^{2}) (1 + x^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 (1 + x^{2}) + x^{2} (1 + x^{2}))$

Этап 3.7.4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 \cdot 1 + 1 x^{2} + x^{2} (1 + x^{2}))$

Этап 3.7.4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 \cdot 1 + 1 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2})$

Этап 3.7.4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + 1 x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2})$

Этап 3.7.4.1.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + x^{2} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2})$

Этап 3.7.4.1.3.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + x^{2} + x^{2} + x^{2} x^{2})$

Этап 3.7.4.1.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1.3.1.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + x^{2} + x^{2} + x^{2 + 2})$

Этап 3.7.4.1.3.1.4.2

Добавим $2$ и $2$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + x^{2} + x^{2} + x^{4})$

Этап 3.7.4.1.3.2

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} (1 + 2 x^{2} + x^{4})$

Этап 3.7.4.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} \cdot 1 + e^{2 C} (2 x^{2}) + e^{2 C} x^{4}$

Этап 3.7.4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1.5.1

Умножим $e^{2 C}$ на $1$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} + e^{2 C} (2 x^{2}) + e^{2 C} x^{4}$

Этап 3.7.4.1.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} + 2 e^{2 C} x^{2} + e^{2 C} x^{4}$

Этап 3.7.4.1.6

Изменим порядок множителей в $e^{2 C} + 2 e^{2 C} x^{2} + e^{2 C} x^{4}$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + x^{4} e^{2 C}$

Этап 3.7.4.1.7

Перенесем $e^{2 C}$ .

$| 1 + y^{2} | = 2 x^{2} e^{2 C} + x^{4} e^{2 C} + e^{2 C}$

Этап 3.7.4.1.8

Изменим порядок $2 x^{2} e^{2 C}$ и $x^{4} e^{2 C}$ .

$| 1 + y^{2} | = x^{4} e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + e^{2 C}$

Этап 3.7.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm (x^{4} e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + e^{2 C})$

Этап 3.7.4.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} = \pm (x^{4} e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + e^{2 C}) - 1$

Этап 3.7.4.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{4} e^{2 C} + 2 x^{2} e^{2 C} + e^{2 C}) - 1}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{4} C + 2 x^{2} C + C) - 1}$