Математический анализ Примеры

$\frac{d A}{d r} = A b^{2} \cos (b r)$ , $A (0) = b^{3}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d A}{d r} + M (r) A = Q (r)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в виде $M (r) \frac{d A}{d r} + P (r) A = Q (r)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $A b^{2} \cos (b r)$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d A}{d r} - A b^{2} \cos (b r) = 0$

Этап 1.1.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d A}{d r} - b^{2} A \cos (b r) = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $A$ из $- b^{2} A \cos (b r)$ .

$\frac{d A}{d r} + A (- b^{2} \cos (b r)) = 0$

Этап 1.3

Изменим порядок $A$ и $- b^{2} \cos (b r)$ .

$\frac{d A}{d r} - b^{2} \cos (b r) A = 0$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (r) d r}$ , где $P (r) = - b^{2} \cos (b r)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - b^{2} \cos (b r) d r}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $- b^{2} \cos (b r)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- b^{2}$ — константа по отношению к $r$ , вынесем $- b^{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{- b^{2} \int \cos (b r) d r}$

Этап 2.2.2

Пусть $u = b r$ . Тогда $d u = b d r$ , следовательно $\frac{1}{b} d u = d r$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Пусть $u = b r$ . Найдем $\frac{d u}{d r}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Перепишем.

$1 b$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $b$ на $1$ .

$b$

Этап 2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{- b^{2} \int \cos (u) \frac{1}{b} d u}$

Этап 2.2.3

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{b}$ .

$e^{- b^{2} \int \frac{\cos (u)}{b} d u}$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{b}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{b}$ из-под знака интеграла.

$e^{- b^{2} (\frac{1}{b} \int \cos (u) d u)}$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Объединим $\frac{1}{b}$ и $b^{2}$ .

$e^{- \frac{b^{2}}{b} \int \cos (u) d u}$

Этап 2.2.5.2

Сократим общий множитель $b^{2}$ и $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Вынесем множитель $b$ из $b^{2}$ .

$e^{- \frac{b \cdot b}{b} \int \cos (u) d u}$

Этап 2.2.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.2.1

Возведем $b$ в степень $1$ .

$e^{- \frac{b \cdot b}{b^{1}} \int \cos (u) d u}$

Этап 2.2.5.2.2.2

Вынесем множитель $b$ из $b^{1}$ .

$e^{- \frac{b \cdot b}{b \cdot 1} \int \cos (u) d u}$

Этап 2.2.5.2.2.3

Сократим общий множитель.

$e^{- \frac{b \cdot b}{b \cdot 1} \int \cos (u) d u}$

Этап 2.2.5.2.2.4

Перепишем это выражение.

$e^{- \frac{b}{1} \int \cos (u) d u}$

Этап 2.2.5.2.2.5

Разделим $b$ на $1$ .

$e^{- b \int \cos (u) d u}$

Этап 2.2.6

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$e^{- b (\sin (u) + C)}$

Этап 2.2.7

Упростим.

$e^{- b \sin (u) + C}$

Этап 2.2.8

Заменим все вхождения $u$ на $b r$ .

$e^{- b \sin (b r) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- b \sin (b r)}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- b \sin (b r)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{- b \sin (b r)}$ .

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} + e^{- b \sin (b r)} (- b^{2} \cos (b r) A) = e^{- b \sin (b r)} \cdot 0$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = e^{- b \sin (b r)} \cdot 0$

Этап 3.3

Умножим $e^{- b \sin (b r)}$ на $0$ .

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = 0$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = 0$ .

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - b^{2} A e^{- b \sin (b r)} \cos (b r) = 0$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d r} [e^{- b \sin (b r)} A] = 0$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d r} [e^{- b \sin (b r)} A] d r = \int 0 d r$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- b \sin (b r)} A = \int 0 d r$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Интеграл $0$ по $r$ имеет вид $0$ .

$e^{- b \sin (b r)} A = 0 + C$

Этап 7.2

Добавим $0$ и $C$ .

$e^{- b \sin (b r)} A = C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{- b \sin (b r)} A = C$ на $e^{- b \sin (b r)}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{- b \sin (b r)} A = C$ на $e^{- b \sin (b r)}$ .

$\frac{e^{- b \sin (b r)} A}{e^{- b \sin (b r)}} = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{- b \sin (b r)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- b \sin (b r)} A}{e^{- b \sin (b r)}} = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

Этап 9

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $r$ и $b^{3}$ вместо $A$ в $A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$ .

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}}$

Этап 10

Решим относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим обе части на $e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ .

$b^{3} e^{- b \sin (b \cdot 0)} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Упростим $b^{3} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1

Умножим $b$ на $0$ .

$b^{3} e^{- b \sin (0)} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Этап 10.2.1.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$b^{3} e^{- b \cdot 0} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Этап 10.2.1.1.3

Умножим $- b \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$b^{3} e^{0 b} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Этап 10.2.1.1.3.2

Умножим $0$ на $b$ .

$b^{3} e^{0} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Этап 10.2.1.1.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$b^{3} \cdot 1 = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Этап 10.2.1.1.5

Умножим $b^{3}$ на $1$ .

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Этап 10.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Этап 10.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$b^{3} = C$

Этап 10.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$b = \sqrt[3]{C}$

Этап 11

Подставим $\sqrt[3]{C}$ вместо $C$ в $A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Подставим $\sqrt[3]{C}$ вместо $b$ .

$A = \frac{C}{e^{- \sqrt[3]{C} \sin (\sqrt[3]{C} r)}}$