Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x + x y^{2}}{y + x^{2} y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x + x y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 3 + x y^{2}}{y + x^{2} y}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 3 + x (y^{2})}{y + x^{2} y}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 3 + x (y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (3 + y^{2})}{y + x^{2} y}$

Этап 1.1.4

Умножим $x$ на $3 + y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 + y^{2})}{y + x^{2} y}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $y$ из $y + x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 + y^{2})}{y^{1} + x^{2} y}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 + y^{2})}{y \cdot 1 + x^{2} y}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 + y^{2})}{y \cdot 1 + y x^{2}}$

Этап 1.2.4

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 + y^{2})}{y \cdot (1 + x^{2})}$

Этап 1.2.5

Умножим $y$ на $1 + x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{3 + y^{2}}{y}$

Этап 1.4

Умножим обе части на $\frac{y}{3 + y^{2}}$ .

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 + y^{2}} (\frac{x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{3 + y^{2}}{y})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{x}{1 + x^{2}}$ на $\frac{3 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 + y^{2}} \cdot \frac{x (3 + y^{2})}{(1 + x^{2}) y}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $y$ из $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 + y^{2}} \cdot \frac{x (3 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 + y^{2}} \cdot \frac{x (3 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

Этап 1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y^{2}} \cdot \frac{x (3 + y^{2})}{1 + x^{2}}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $3 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем множитель $3 + y^{2}$ из $x (3 + y^{2})$ .

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y^{2}} \cdot \frac{(3 + y^{2}) x}{1 + x^{2}}$

Этап 1.5.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y^{2}} \cdot \frac{(3 + y^{2}) x}{1 + x^{2}}$

Этап 1.5.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{y}{3 + y^{2}} d y = \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y}{3 + y^{2}} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = 3 + y^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 y d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = 3 + y^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $3 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [3 + y^{2}]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $3 + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2.1.1.3

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $0$ и $2 y$ .

$2 y$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Тогда $d u_{2} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 2.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| 3 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 3 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\ln (| 3 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 3 + y^{2} |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| 1 + x^{2} |)$ .

$\ln (| 3 + y^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C)$

Этап 3.2.2.1.2

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 3 + y^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Объединим $C$ и $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 3 + y^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Этап 3.2.2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| 3 + y^{2} |) = 2 \frac{\ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.2.1.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| 3 + y^{2} |) = 2 \frac{\ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.2.1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 3 + y^{2} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2$

Этап 3.2.2.1.4

Перенесем $2$ влево от $C$ .

$\ln (| 3 + y^{2} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C$

Этап 3.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 3 + y^{2} |) - \ln (| 1 + x^{2} |) = 2 C$

Этап 3.4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |}) = 2 C$

Этап 3.5

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |})} = e^{2 C}$

Этап 3.6

Перепишем $\ln (\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |}) = 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |}$

Этап 3.7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} = e^{2 C}$

Этап 3.7.2

Умножим обе части на $| 1 + x^{2} |$ .

$\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{2 C} | 1 + x^{2} |$

Этап 3.7.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Сократим общий множитель $| 1 + x^{2} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{2 C} | 1 + x^{2} |$

Этап 3.7.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| 3 + y^{2} | = e^{2 C} | 1 + x^{2} |$

Этап 3.7.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{2 C} | 1 + x^{2} |$ .

$| 3 + y^{2} | = | 1 + x^{2} | e^{2 C}$

Этап 3.7.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$3 + y^{2} = \pm | 1 + x^{2} | e^{2 C}$

Этап 3.7.4.3

Изменим порядок множителей в $\pm | 1 + x^{2} | e^{2 C}$ .

$3 + y^{2} = \pm e^{2 C} | 1 + x^{2} |$

Этап 3.7.4.4

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} = \pm e^{2 C} | 1 + x^{2} | - 3$

Этап 3.7.4.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{2 C} | 1 + x^{2} | - 3}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \sqrt{\pm C | 1 + x^{2} | - 3}$

Этап 4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \pm \sqrt{C | 1 + x^{2} | - 3}$