Математический анализ Примеры

$(1 + x) (y d) x + (1 - y) x d y = 0$

Этап 1

Вычтем $(1 + x) y d x$ из обеих частей уравнения.

$(1 - y) x d y = - (1 + x) y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} ((1 - y) x) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} ((1 - y) x) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $(1 - y) x$ .

$\frac{1}{x (y)} (x (1 - y)) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Этап 3.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x y} (x (1 - y)) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Этап 3.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} (1 - y) d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{y}$ на $1 - y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{1}{x y} (- (1 + x) y) d x$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{x y} ((1 + x) y) d x$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x y}$ в числитель.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{x y} ((1 + x) y) d x$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} ((1 + x) y) d x$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $(1 + x) y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (1 + x)) d x$

Этап 3.4.4

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y x} (y (1 + x)) d x$

Этап 3.4.5

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{x} (1 + x) d x$

Этап 3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{x} (1 + x) d x$

Этап 3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} \cdot 1 - \frac{1}{x} x) d x$

Этап 3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} - \frac{1}{x} x) d x$

Этап 3.8

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x}$ в числитель.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} x) d x$

Этап 3.8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} x) d x$

Этап 3.8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - y}{y} d y = (- \frac{1}{x} - 1) d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Этап 4.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Этап 4.2.3.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Этап 4.2.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Этап 4.2.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Этап 4.2.6

Упростим.

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Этап 4.2.7

Изменим порядок членов.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} - 1 d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

Этап 4.3.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

Этап 4.3.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4}) + \int - 1 d x$

Этап 4.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4}) - x + C_{5}$

Этап 4.3.5

Упростим.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \ln (| x |) - x + C_{6}$

Этап 4.3.6

Изменим порядок членов.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x - \ln (| x |) + C_{6}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- y + \ln (| y |) = - x - \ln (| x |) + C$