Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - x y = 0$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - x d x}$

Этап 1.2

Проинтегрируем $- x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int x d x}$

Этап 1.2.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Этап 1.2.3

Перепишем $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- \frac{1}{2} x^{2}}$

Этап 1.4

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 0$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 0$

Этап 2.3

Умножим $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ на $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = 0$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = 0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - x y e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] = 0$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int 0 d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = \int 0 d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Интеграл $0$ по $x$ имеет вид $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = 0 + C$

Этап 6.2

Добавим $0$ и $C$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ на $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ на $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$