Математический анализ Примеры

$y d x = x (1 + x y^{4}) d y$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x (1 + x y^{4}) d y$ из обеих частей уравнения.

$y d x - x (1 + x y^{4}) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - x (1 + x y^{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x (1 + x y^{4})]$

Этап 3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x (1 + x y^{4})$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x (1 + x y^{4})]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x (1 + x y^{4})]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 1 + x y^{4}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x \frac{d}{d x} [1 + x y^{4}] + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

По правилу суммы производная $1 + x y^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{4}]) + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (0 + \frac{d}{d x} [x y^{4}]) + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x \frac{d}{d x} [x y^{4}] + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.4

Поскольку $y^{4}$ является константой относительно $x$ , производная $x y^{4}$ по $x$ равна $y^{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (y^{4} \frac{d}{d x} [x]) + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (y^{4} \cdot 1) + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.6

Умножим $y^{4}$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x y^{4} + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x y^{4} + (1 + x y^{4}) \cdot 1)$

Этап 3.4.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1

Умножим $1 + x y^{4}$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x y^{4} + 1 + x y^{4})$

Этап 3.4.8.2

Добавим $x y^{4}$ и $x y^{4}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x y^{4} + 1)$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x y^{4}) - 1 \cdot 1$

Этап 3.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (x y^{4}) - 1 \cdot 1$

Этап 3.5.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y^{4} - 1$

Этап 3.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y^{4} x - 1$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 2 y^{4} x - 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 2 y^{4} x - 1$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$1 = - 2 y^{4} x - 1$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 5.2

Подставим $- 2 y^{4} x - 1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - (- 2 y^{4} x - 1)}{N}$

Этап 5.3

Подставим $- x (1 + x y^{4})$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $- x (1 + x y^{4})$ вместо $N$ .

$\frac{1 - (- 2 y^{4} x - 1)}{- x (1 + x y^{4})}$

Этап 5.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 - (- 2 y^{4} x) - - 1}{- x (1 + x y^{4})}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{1 + 2 (y^{4} x) - - 1}{- x (1 + x y^{4})}$

Этап 5.3.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 + 2 (y^{4} x) + 1}{- x (1 + x y^{4})}$

Этап 5.3.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 y^{4} x + 2}{- x (1 + x y^{4})}$

Этап 5.3.2.5

Вынесем множитель $2$ из $2 y^{4} x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y^{4} x$ .

$\frac{2 (y^{4} x) + 2}{- x (1 + x y^{4})}$

Этап 5.3.2.5.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (y^{4} x) + 2 (1)}{- x (1 + x y^{4})}$

Этап 5.3.2.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (y^{4} x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (y^{4} x + 1)}{- x (1 + x y^{4})}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $y^{4} x + 1$ и $1 + x y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Изменим порядок членов.

$\frac{2 (y^{4} x + 1)}{- x (y^{4} x + 1)}$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (y^{4} x + 1)}{- x (y^{4} x + 1)}$

Этап 5.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{- x}$

Этап 5.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Этап 6.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 6.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 6.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 6.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Этап 6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим $- 2 \ln (| x |)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Этап 6.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Этап 6.6.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{- 2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Этап 6.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $y d x - x (1 + x y^{4}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $y$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$y \frac{1}{x^{2}} d x - x (1 + x y^{4}) d y = 0$

Этап 7.2

Объединим $y$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x - x (1 + x y^{4}) d y = 0$

Этап 7.3

Умножим $- x (1 + x y^{4})$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x - x (1 + x y^{4}) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель $x$ из $- x (1 + x y^{4})$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + x (- 1 (1 + x y^{4})) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Этап 7.4.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + x (- 1 (1 + x y^{4})) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Этап 7.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x^{2}} d x + x (- 1 (1 + x y^{4})) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Этап 7.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{x^{2}} d x - 1 (1 + x y^{4}) \frac{1}{x} d y = 0$

Этап 7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y}{x^{2}} d x + (- 1 \cdot 1 - 1 (x y^{4})) \frac{1}{x} d y = 0$

Этап 7.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + (- 1 - 1 (x y^{4})) \frac{1}{x} d y = 0$

Этап 7.7

Перепишем $- 1 (x y^{4})$ в виде $- (x y^{4})$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + (- 1 - (x y^{4})) \frac{1}{x} d y = 0$

Этап 7.8

Умножим $- 1 - x y^{4}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{- 1 - x y^{4}}{x} d y = 0$

Этап 7.9

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{- 1 (1) - x y^{4}}{x} d y = 0$

Этап 7.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- x y^{4}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{- 1 (1) - (x y^{4})}{x} d y = 0$

Этап 7.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (x y^{4})$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{- 1 (1 + x y^{4})}{x} d y = 0$

Этап 7.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{y}{x^{2}} d x - \frac{1 + x y^{4}}{x} d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x^{2}} d x$

Этап 9

Проинтегрируем $M (x, y) = \frac{y}{x^{2}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку $y$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $y$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 9.2

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$f (x, y) = y \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 9.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = y \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 9.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (x, y) = y \int x^{- 2} d x$

Этап 9.4

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$f (x, y) = y (- x^{- 1} + C)$

Этап 9.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Перепишем $y (- x^{- 1} + C)$ в виде $y (- \frac{1}{x}) + C$ .

$f (x, y) = y (- \frac{1}{x}) + C$

Этап 9.5.2

Объединим $y$ и $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (y)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x} + g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $- \frac{y}{x} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $- \frac{1}{x}$ является константой относительно $y$ , производная $- \frac{y}{x}$ по $y$ равна $- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Этап 12.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Этап 12.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{d g}{d y} = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Этап 12.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{x} = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Добавим $\frac{1 + x y^{4}}{x}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{x} + \frac{1 + x y^{4}}{x} = 0$

Этап 13.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1 + 1 + x y^{4}}{x} = 0$

Этап 13.1.1.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + x y^{4}}{x} = 0$

Этап 13.1.1.4

Добавим $0$ и $x y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x y^{4}}{x} = 0$

Этап 13.1.1.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x y^{4}}{x} = 0$

Этап 13.1.1.5.2

Разделим $y^{4}$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} + y^{4} = 0$

Этап 13.1.2

Вычтем $y^{4}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = - y^{4}$

Этап 14

Найдем первообразную $- y^{4}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - y^{4}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{4} d y$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{4} d y$

Этап 14.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - \int y^{4} d y$

Этап 14.4

По правилу степени интеграл $y^{4}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{5} y^{5} + C)$

Этап 14.5

Перепишем $- (\frac{1}{5} y^{5} + C)$ в виде $- \frac{1}{5} y^{5} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{5} y^{5} + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} - \frac{1}{5} y^{5} + C$

Этап 16

Объединим $y^{5}$ и $\frac{1}{5}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} - \frac{y^{5}}{5} + C$