Математический анализ Примеры

$(x - 3 y) d x + 2 x d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x - 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 3 y]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x - 3 y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

Этап 1.2.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $y$ , производная $- 3 y$ по $y$ равна $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3$

Этап 1.4

Вычтем $3$ из $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 3$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 3 = 2$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- 3 = 2$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 3$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $2$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 3 - 2}{N}$

Этап 4.3

Подставим $2 x$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $2 x$ вместо $N$ .

$\frac{- 3 - 2}{2 x}$

Этап 4.3.2

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$\frac{- 5}{2 x}$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{2 x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{2 x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{5}{2 x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{2 x} d x}$

Этап 5.2

Поскольку $\frac{5}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{5}{2}$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{5}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 5.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{5}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.4

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \frac{5}{2} \ln (| x |)} + C$

Этап 5.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $- \frac{5}{2} \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Изменим порядок $\ln (| x |)$ и $\frac{5}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{5}{2} \ln (| x |))} + C$

Этап 5.5.1.2

Упростим $\frac{5}{2} \ln (| x |)$ путем переноса $\frac{5}{2}$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{5}{2}})} + C$

Этап 5.5.2

Упростим $- \ln ({| x |}^{\frac{5}{2}})$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{5}{2}})}^{- 1})} + C$

Этап 5.5.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{5}{2}})}^{- 1} + C$

Этап 5.5.4

Перемножим экспоненты в ${({| x |}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{5}{2} \cdot - 1} + C$

Этап 5.5.4.2

Умножим $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Объединим $\frac{5}{2}$ и $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}} + C$

Этап 5.5.4.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 5}{2}} + C$

Этап 5.5.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{5}{2}} + C$

Этап 5.5.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{5}{2}}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(x - 3 y) d x + 2 x d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x - 3 y$ на $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ .

$(x - 3 y) \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $x - 3 y$ на $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $2 x$ на $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}} d x + 2 x \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $2 x \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}} d x + x \frac{2}{x^{\frac{5}{2}}} d y = 0$

Этап 6.4.2

Объединим $x$ и $\frac{2}{x^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}} d x + \frac{x \cdot 2}{x^{\frac{5}{2}}} d y = 0$

Этап 6.5

Перенесем $x^{1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{5}{2}} x^{- 1}} d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $x^{\frac{5}{2}}$ на $x^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{5}{2} - 1}} d y = 0$

Этап 6.6.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} d y = 0$

Этап 6.6.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} d y = 0$

Этап 6.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}} d y = 0$

Этап 6.6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{5 - 2}{2}}} d y = 0$

Этап 6.6.5.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$\frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} y + C$

Этап 8.2

Объединим $\frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$ и $y$ .

$f (x, y) = \frac{2 y}{x^{\frac{3}{2}}} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{2 y}{x^{\frac{3}{2}}} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 y}{x^{\frac{3}{2}}} + g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{2 y}{x^{\frac{3}{2}}} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{2 y}{x^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 y}{x^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2 y}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 y}{x^{\frac{3}{2}}}$ по $x$ равна $2 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$2 y \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 y (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$2 y (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 y (- x^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 y (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$2 y (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$2 y (- x^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.5.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 y (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 y (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 y (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 y (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 y (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.9.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$2 y (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.10

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y (- x^{- 3} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.11

Объединим $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ и $x^{- 3}$ .

$2 y (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.12

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{- 3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.12.1

Перенесем $x^{- 3}$ .

$2 y (- \frac{3 (x^{- 3} x^{\frac{1}{2}})}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.12.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 y (- \frac{3 x^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.12.3

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 y (- \frac{3 x^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.12.4

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 y (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.12.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 y (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.12.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.12.6.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$2 y (- \frac{3 x^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.12.6.2

Добавим $- 6$ и $1$ .

$2 y (- \frac{3 x^{\frac{- 5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.12.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 y (- \frac{3 x^{- \frac{5}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.13

Перенесем $x^{- \frac{5}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 y (- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.14

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 y \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.15

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$ .

$y \frac{- 2 \cdot 3}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.16

Умножим $- 2$ на $3$ .

$y \frac{- 6}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.17

Объединим $y$ и $\frac{- 6}{2 x^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{y \cdot - 6}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.18

Перенесем $- 6$ влево от $y$ .

$\frac{- 6 \cdot y}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.19

Вынесем множитель $2$ из $- 6 y$ .

$\frac{2 (- 3 y)}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.20

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.20.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 (- 3 y)}{2 (x^{\frac{5}{2}})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.20.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 3 y)}{2 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.20.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 y}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.3.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 y}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{3 y}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} - \frac{3 y}{x^{\frac{5}{2}}} = \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Упростим $\frac{d g}{d x} - \frac{3 y}{x^{\frac{5}{2}}} - \frac{x - 3 y}{x^{\frac{5}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 y - (x - 3 y)}{x^{\frac{5}{2}}} = 0$

Этап 12.1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 y - x - (- 3 y)}{x^{\frac{5}{2}}} = 0$

Этап 12.1.1.2.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 y - x + 3 y}{x^{\frac{5}{2}}} = 0$

Этап 12.1.1.3

Объединим противоположные члены в $- 3 y - x + 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.1

Добавим $- 3 y$ и $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{\frac{5}{2}}} = 0$

Этап 12.1.1.3.2

Добавим $- x$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{\frac{5}{2}}} = 0$

Этап 12.1.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.1

Перенесем $x^{1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{5}{2}} x^{- 1}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2

Умножим $x^{\frac{5}{2}}$ на $x^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{5}{2} - 1}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.2.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{5 - 2}{2}}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2.5.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Этап 12.1.1.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Этап 12.1.2

Добавим $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13

Найдем первообразную $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 13.3

Вынесем $x^{\frac{3}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$g (x) = \int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 13.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 13.4.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$g (x) = \int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

Этап 13.4.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$g (x) = \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Этап 13.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$g (x) = \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Этап 13.5

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$g (x) = - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Этап 13.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.1

Перепишем $- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$ в виде $- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$ .

$g (x) = - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 13.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$g (x) = \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 13.6.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$g (x) = - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{2 y}{x^{\frac{3}{2}}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{2 y}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$