Математический анализ Примеры

$x (y^{2} - 1) d x - y (x^{2} - 1) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $x (y^{2} - 1) d x$ из обеих частей уравнения.

$- y (x^{2} - 1) d y = - x (y^{2} - 1) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- y (x^{2} - 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (y (x^{2} - 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}$ в числитель.

$\frac{- 1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (y (x^{2} - 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $x^{2} - 1$ из $y (x^{2} - 1)$ .

$\frac{- 1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} ((x^{2} - 1) y) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} ((x^{2} - 1) y) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Этап 3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{y^{2} - 1} y d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Этап 3.3

Объединим $\frac{- 1}{y^{2} - 1}$ и $y$ .

$\frac{- y}{y^{2} - 1} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Этап 3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{- y}{y^{2} - 1^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Этап 3.4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 1$ .

$\frac{- y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Этап 3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Этап 3.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Этап 3.7

Сократим общий множитель $y^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}$ в числитель.

$- \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Этап 3.7.2

Вынесем множитель $y^{2} - 1$ из $(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)$ .

$- \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Этап 3.7.3

Вынесем множитель $y^{2} - 1$ из $x (y^{2} - 1)$ .

$- \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

Этап 3.7.4

Сократим общий множитель.

$- \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

Этап 3.7.5

Перепишем это выражение.

$- \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{x^{2} - 1} x d x$

Этап 3.8

Объединим $\frac{- 1}{x^{2} - 1}$ и $x$ .

$- \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{x^{2} - 1} d x$

Этап 3.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{x^{2} - 1^{2}} d x$

Этап 3.9.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$- \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.2.2

Пусть $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ . Тогда $d u_{1} = 2 y d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Пусть $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Дифференцируем $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

Этап 4.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = y + 1$ и $g (y) = y - 1$ .

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 4.2.2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

По правилу суммы производная $y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 4.2.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 4.2.2.1.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 4.2.2.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 4.2.2.1.3.4.2

Умножим $y + 1$ на $1$ .

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 4.2.2.1.3.5

По правилу суммы производная $y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Этап 4.2.2.1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

Этап 4.2.2.1.3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

Этап 4.2.2.1.3.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

Этап 4.2.2.1.3.8.2

Умножим $y - 1$ на $1$ .

$y + 1 + y - 1$

Этап 4.2.2.1.3.8.3

Добавим $y$ и $y$ .

$2 y + 1 - 1$

Этап 4.2.2.1.3.8.4

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.8.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$2 y + 0$

Этап 4.2.2.1.3.8.4.2

Добавим $2 y$ и $0$ .

$2 y$

Этап 4.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.2.3.2

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.2.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.2.5

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.2.6

Упростим.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.2.7

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $(y + 1) (y - 1)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 4.3.2

Пусть $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . Тогда $d u_{2} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Пусть $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Дифференцируем $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Этап 4.3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.3.2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.3.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.3.2.1.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.3.2.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.3.2.1.3.4.2

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.3.2.1.3.5

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.3.2.1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4.3.2.1.3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Этап 4.3.2.1.3.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Этап 4.3.2.1.3.8.2

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Этап 4.3.2.1.3.8.3

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Этап 4.3.2.1.3.8.4

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.8.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$2 x + 0$

Этап 4.3.2.1.3.8.4.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 4.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 4.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 4.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 4.3.5

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 4.3.6

Упростим.

$- \frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 4.3.7

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $(x + 1) (x - 1)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части уравнения на $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Этап 5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Развернем $(y + 1) (y - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y (y - 1) + 1 (y - 1) |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Этап 5.2.1.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Этап 5.2.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.1.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.1.4

Умножим $y$ на $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y - 1 |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.2

Добавим $- y$ и $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 0 - 1 |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Этап 5.2.1.1.2.3

Добавим $y^{2}$ и $0$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Этап 5.2.1.1.3

Объединим $\ln (| y^{2} - 1 |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2}) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Этап 5.2.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- \ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Этап 5.2.1.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Этап 5.2.1.1.4.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Этап 5.2.1.1.4.4

Перепишем это выражение.

$- - \ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Этап 5.2.1.1.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Этап 5.2.1.1.5.2

Умножим $\ln (| y^{2} - 1 |)$ на $1$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x (x - 1) + 1 (x - 1) |) + C)$

Этап 5.2.2.1.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |) + C)$

Этап 5.2.2.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Этап 5.2.2.1.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Этап 5.2.2.1.1.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Этап 5.2.2.1.1.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Этап 5.2.2.1.1.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Этап 5.2.2.1.1.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + x - 1 |) + C)$

Этап 5.2.2.1.1.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 0 - 1 |) + C)$

Этап 5.2.2.1.1.2.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) + C)$

Этап 5.2.2.1.1.3

Объединим $\ln (| x^{2} - 1 |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + C)$

Этап 5.2.2.1.2

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Этап 5.2.2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.1

Объединим $C$ и $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 (- \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Этап 5.2.2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - 2 \frac{- \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.2.1.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- 1) \frac{- \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.2.1.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Этап 5.2.2.1.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - (- \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2)$

Этап 5.2.2.1.4

Перенесем $2$ влево от $C$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - (- \ln (| x^{2} - 1 |) + 2 C)$

Этап 5.2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - - \ln (| x^{2} - 1 |) - (2 C)$

Этап 5.2.2.1.6

Умножим $- - \ln (| x^{2} - 1 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 1 \ln (| x^{2} - 1 |) - (2 C)$

Этап 5.2.2.1.6.2

Умножим $\ln (| x^{2} - 1 |)$ на $1$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = \ln (| x^{2} - 1 |) - (2 C)$

Этап 5.2.2.1.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = \ln (| x^{2} - 1 |) - 2 C$

Этап 5.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y^{2} - 1 |) - \ln (| x^{2} - 1 |) = - 2 C$

Этап 5.4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Этап 5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1^{2} |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Этап 5.5.2

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Этап 5.5.3

Развернем $(y + 1) (y - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (\frac{| y (y - 1) + 1 (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Этап 5.5.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (\frac{| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Этап 5.5.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (\frac{| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Этап 5.5.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$\ln (\frac{| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Этап 5.5.4.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Этап 5.5.4.1.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Этап 5.5.4.1.4

Умножим $y$ на $1$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Этап 5.5.4.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - y + y - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Этап 5.5.4.2

Добавим $- y$ и $y$ .

$\ln (\frac{| y^{2} + 0 - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Этап 5.5.4.3

Добавим $y^{2}$ и $0$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1 |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Этап 5.5.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| y^{2} - 1^{2} |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Этап 5.5.6

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Этап 5.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1^{2} |}) = - 2 C$

Этап 5.6.2

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = - 2 C$

Этап 5.6.3

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x (x - 1) + 1 (x - 1) |}) = - 2 C$

Этап 5.6.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |}) = - 2 C$

Этап 5.6.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = - 2 C$

Этап 5.6.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = - 2 C$

Этап 5.6.4.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = - 2 C$

Этап 5.6.4.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |}) = - 2 C$

Этап 5.6.4.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |}) = - 2 C$

Этап 5.6.4.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - x + x - 1 |}) = - 2 C$

Этап 5.6.4.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} + 0 - 1 |}) = - 2 C$

Этап 5.6.4.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1 |}) = - 2 C$

Этап 5.6.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| x^{2} - 1^{2} |}) = - 2 C$

Этап 5.6.6

$\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = - 2 C$

Этап 5.7

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |})} = e^{- 2 C}$

Этап 5.8

Перепишем $\ln (\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}) = - 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = \frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |}$

Этап 5.9

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{- 2 C}$ .

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} = e^{- 2 C}$

Этап 5.9.2

Умножим обе части на $| (x + 1) (x - 1) |$ .

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Этап 5.9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1.1

Упростим $\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1.1.1

Сократим общий множитель $| (x + 1) (x - 1) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| (y + 1) (y - 1) |}{| (x + 1) (x - 1) |} | (x + 1) (x - 1) | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Этап 5.9.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$| (y + 1) (y - 1) | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Этап 5.9.3.1.1.2

Развернем $(y + 1) (y - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$| y (y - 1) + 1 (y - 1) | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Этап 5.9.3.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Этап 5.9.3.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Этап 5.9.3.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1.1.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Этап 5.9.3.1.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

$| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Этап 5.9.3.1.1.3.1.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Этап 5.9.3.1.1.3.1.4

Умножим $y$ на $1$ .

$| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Этап 5.9.3.1.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$| y^{2} - y + y - 1 | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Этап 5.9.3.1.1.3.2

Добавим $- y$ и $y$ .

$| y^{2} + 0 - 1 | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Этап 5.9.3.1.1.3.3

Добавим $y^{2}$ и $0$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$

Этап 5.9.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.2.1

Упростим $e^{- 2 C} | (x + 1) (x - 1) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.2.1.1

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$| y^{2} - 1 | = e^{- 2 C} | x (x - 1) + 1 (x - 1) |$

Этап 5.9.3.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$| y^{2} - 1 | = e^{- 2 C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |$

Этап 5.9.3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$| y^{2} - 1 | = e^{- 2 C} | x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Этап 5.9.3.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.2.1.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{- 2 C} | x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Этап 5.9.3.2.1.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{- 2 C} | x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Этап 5.9.3.2.1.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{- 2 C} | x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |$

Этап 5.9.3.2.1.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{- 2 C} | x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |$

Этап 5.9.3.2.1.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{- 2 C} | x^{2} - x + x - 1 |$

Этап 5.9.3.2.1.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{- 2 C} | x^{2} + 0 - 1 |$

Этап 5.9.3.2.1.2.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$| y^{2} - 1 | = e^{- 2 C} | x^{2} - 1 |$

Этап 5.9.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{- 2 C} | x^{2} - 1 |$ .

$| y^{2} - 1 | = | x^{2} - 1 | e^{- 2 C}$

Этап 5.9.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y^{2} - 1 = \pm | x^{2} - 1 | e^{- 2 C}$

Этап 5.9.4.3

Изменим порядок множителей в $\pm | x^{2} - 1 | e^{- 2 C}$ .

$y^{2} - 1 = \pm e^{- 2 C} | x^{2} - 1 |$

Этап 5.9.4.4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} = \pm e^{- 2 C} | x^{2} - 1 | + 1$

Этап 5.9.4.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- 2 C} | x^{2} - 1 | + 1}$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \sqrt{\pm C | x^{2} - 1 | + 1}$

Этап 6.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \pm \sqrt{C | x^{2} - 1 | + 1}$