Математический анализ Примеры

$(x^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x^{3} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} + y^{2}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $x^{3} + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.3

Поскольку $x^{3}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{3}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Этап 1.5

Добавим $0$ и $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x^{2} - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x y$ по $x$ равна $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 x - 2 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 2 x - 2 y$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$2 y = 2 x - 2 y$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $2 x - 2 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y - (2 x - 2 y)}{N}$

Этап 4.3

Подставим $x^{2} - 2 x y$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x^{2} - 2 x y$ вместо $N$ .

$\frac{2 y - (2 x - 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 y - (2 x) - (- 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 y - 2 x - (- 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{2 y - 2 x + 2 y}{x^{2} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.4

Добавим $2 y$ и $2 y$ .

$\frac{- 2 x + 4 y}{x^{2} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.5

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x + 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 4 y}{x^{2} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.5.2

Вынесем множитель $2$ из $4 y$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x) + 2 (2 y)$ .

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x^{2} - 2 x y}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x \cdot x - 2 x y}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x y$ .

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x \cdot x + x (- 2 y)}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (- 2 y)$ .

$\frac{2 (- x + 2 y)}{x (x - 2 y)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $- x + 2 y$ и $x - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 2 y)}{x (x - 2 y)}$

Этап 4.3.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $2 y$ .

$\frac{2 (- (x) - (- 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Этап 4.3.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - (- 2 y)$ .

$\frac{2 (- (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Этап 4.3.4.4

Перепишем $- (x - 2 y)$ в виде $- 1 (x - 2 y)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Этап 4.3.4.5

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 1 (x - 2 y))}{x (x - 2 y)}$

Этап 4.3.4.6

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

Этап 4.3.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Этап 4.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Этап 5.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 2 \ln (| x |)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Этап 5.6.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{- 2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Этап 5.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(x^{3} + y^{2}) d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x^{3} + y^{2}$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x^{3} + y^{2}) \frac{1}{x^{2}} d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $x^{3} + y^{2}$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{3} + y^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} - 2 x y) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x^{2} - 2 x y$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{3} + y^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} - 2 x y) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $x^{2} - 2 x y$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{3} + y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x^{2} - 2 x y}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.5

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x - 2 x y}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.5.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x y$ .

$\frac{x^{3} + y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x \cdot x + x (- 2 y)}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (- 2 y)$ .

$\frac{x^{3} + y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 2 y)}{x^{2}} d y = 0$

Этап 6.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 2 y)}{x \cdot x} d y = 0$

Этап 6.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} + y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x - 2 y)}{x \cdot x} d y = 0$

Этап 6.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{3} + y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x - 2 y}{x} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x^{3} + y^{2}}{x^{2}} d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = \frac{x^{3} + y^{2}}{x^{2}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$f (x, y) = \int (x^{3} + y^{2}) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 8.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \int (x^{3} + y^{2}) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 8.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (x, y) = \int (x^{3} + y^{2}) x^{- 2} d x$

Этап 8.3

Развернем $(x^{3} + y^{2}) x^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = \int x^{3} x^{- 2} + y^{2} x^{- 2} d x$

Этап 8.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x, y) = \int x^{3 - 2} + y^{2} x^{- 2} d x$

Этап 8.3.3

Вычтем $2$ из $3$ .

$f (x, y) = \int x^{1} + y^{2} x^{- 2} d x$

Этап 8.3.4

Упростим.

$f (x, y) = \int x + y^{2} x^{- 2} d x$

Этап 8.3.5

Изменим порядок $x$ и $y^{2} x^{- 2}$ .

$f (x, y) = \int y^{2} x^{- 2} + x d x$

Этап 8.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int y^{2} x^{- 2} d x + \int x d x$

Этап 8.5

Поскольку $y^{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $y^{2}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = y^{2} \int x^{- 2} d x + \int x d x$

Этап 8.6

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$f (x, y) = y^{2} (- x^{- 1} + C) + \int x d x$

Этап 8.7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (- x^{- 1} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 8.8

Упростим.

$f (x, y) = - y^{2} x^{- 1} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = - y^{2} x^{- 1} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x - 2 y}{x}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [- y^{2} x^{- 1} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{x - 2 y}{x}$

Этап 11.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d y} [- y^{2} \frac{1}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{x - 2 y}{x}$

Этап 11.3

По правилу суммы производная $- y^{2} \frac{1}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [- y^{2} \frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- y^{2} \frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 2 y}{x}$

Этап 11.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- y^{2} \frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 2 y}{x}$

Этап 11.4.2

Поскольку $- \frac{1}{x}$ является константой относительно $y$ , производная $- \frac{y^{2}}{x}$ по $y$ равна $- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 2 y}{x}$

Этап 11.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{1}{x} (2 y) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 2 y}{x}$

Этап 11.4.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{x} y + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 2 y}{x}$

Этап 11.4.5

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 2}{x} y + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 2 y}{x}$

Этап 11.4.6

Объединим $\frac{- 2}{x}$ и $y$ .

$\frac{- 2 y}{x} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 2 y}{x}$

Этап 11.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 y}{x} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 2 y}{x}$

Этап 11.5

Поскольку $\frac{1}{2} x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{1}{2} x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$- \frac{2 y}{x} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x - 2 y}{x}$

Этап 11.6

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{2 y}{x} + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 2 y}{x}$

Этап 11.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.7.1

Добавим $- \frac{2 y}{x}$ и $0$ .

$- \frac{2 y}{x} + \frac{d g}{d y} = \frac{x - 2 y}{x}$

Этап 11.7.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2 y}{x} = \frac{x - 2 y}{x}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Вычтем $\frac{x - 2 y}{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2 y}{x} - \frac{x - 2 y}{x} = 0$

Этап 12.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y - (x - 2 y)}{x} = 0$

Этап 12.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y - x - (- 2 y)}{x} = 0$

Этап 12.1.1.3.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y - x + 2 y}{x} = 0$

Этап 12.1.1.4

Объединим противоположные члены в $- 2 y - x + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.1

Добавим $- 2 y$ и $2 y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x + 0}{x} = 0$

Этап 12.1.1.4.2

Добавим $- x$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

Этап 12.1.1.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x}{x} = 0$

Этап 12.1.1.5.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} - 1 = 0$

Этап 12.1.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} = 1$

Этап 13

Найдем первообразную $1$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Этап 13.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (y) = y + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = - y^{2} x^{- 1} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = - y^{2} x^{- 1} + \frac{1}{2} x^{2} + y + C$

Этап 15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (x, y) = - y^{2} \frac{1}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + y + C$

Этап 15.2

Объединим $\frac{1}{x}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + y + C$

Этап 15.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x} + \frac{x^{2}}{2} + y + C$