Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x^{2} e^{4 x}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = x^{2} e^{4 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x^{2} e^{4 x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int x^{2} e^{4 x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = x^{2} (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = x^{2} \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x$

Этап 2.3.2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{4} \cdot 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4} \cdot 2$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 2 \int e^{4 x} (x) d x)$

Этап 2.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2}{4} \int e^{4 x} (x) d x)$

Этап 2.3.4.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2 (1)}{4} \int e^{4 x} (x) d x)$

Этап 2.3.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{4 x} (x) d x)$

Этап 2.3.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{4 x} (x) d x)$

Этап 2.3.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{2} \int e^{4 x} (x) d x)$

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} \int e^{4 x} (x) d x$

Этап 2.3.5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Этап 2.3.6.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Этап 2.3.6.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

Этап 2.3.7

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

Этап 2.3.8

Пусть $u = 4 x$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Пусть $u = 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1.1

Дифференцируем $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 2.3.8.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 2.3.8.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 2.3.8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Этап 2.3.9

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Этап 2.3.10

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Этап 2.3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Этап 2.3.11.2

Умножим $4$ на $4$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Этап 2.3.12

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C_{2}))$

Этап 2.3.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.13.1

Перепишем $\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C_{2}))$ в виде $\frac{1}{4} x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Этап 2.3.13.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.13.2.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2}}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Этап 2.3.13.2.2

Объединим $\frac{x^{2}}{4}$ и $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Этап 2.3.13.2.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Этап 2.3.13.2.4

Объединим $\frac{x}{4}$ и $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Этап 2.3.13.2.5

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{16}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C_{2}$

Этап 2.3.13.2.6

Чтобы записать $- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) \cdot \frac{4}{4} + C_{2}$

Этап 2.3.13.2.7

Объединим $- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})$ и $\frac{4}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) \cdot 4}{4} + C_{2}$

Этап 2.3.13.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) \cdot 4}{4} + C_{2}$

Этап 2.3.13.2.9

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - 4 (\frac{1}{2}) (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Этап 2.3.13.2.10

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{- 4}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Этап 2.3.13.2.11

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.13.2.11.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Этап 2.3.13.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.13.2.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Этап 2.3.13.2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Этап 2.3.13.2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Этап 2.3.13.2.11.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Этап 2.3.14

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Этап 2.3.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 \frac{x e^{4 x}}{4} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Этап 2.3.15.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.15.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{4 x}}{4} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Этап 2.3.15.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Этап 2.3.15.2.3

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Этап 2.3.15.2.4

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Этап 2.3.15.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.15.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{4 x}}{16}$ в числитель.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - 2 \frac{- e^{4 x}}{16}}{4} + C_{2}$

Этап 2.3.15.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- 1) \frac{- e^{4 x}}{16}}{4} + C_{2}$

Этап 2.3.15.3.3

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8}}{4} + C_{2}$

Этап 2.3.15.3.4

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8}}{4} + C_{2}$

Этап 2.3.15.3.5

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{- e^{4 x}}{8}}{4} + C_{2}$

Этап 2.3.15.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.15.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - - \frac{e^{4 x}}{8}}{4} + C_{2}$

Этап 2.3.15.4.2

Умножим $- - \frac{e^{4 x}}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.15.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 1 \frac{e^{4 x}}{8}}{4} + C_{2}$

Этап 2.3.15.4.2.2

Умножим $\frac{e^{4 x}}{8}$ на $1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{e^{4 x}}{8}}{4} + C_{2}$

Этап 2.3.16

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} x e^{4 x} + \frac{1}{8} e^{4 x}) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{4} (x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} x e^{4 x} + \frac{1}{8} e^{4 x}) + K$