Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x} - \frac{1}{x}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1}{x}$

Этап 1.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1^{2}}{x}$

Этап 1.2.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{(y + 1) (y - 1)}$ .

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $(y + 1) (y - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{y + 1}$

Этап 2.2.1.1.2

$\frac{A}{y + 1} + \frac{B}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{1 (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.4

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.5

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.1

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.6.1.2

Разделим $(A) (y - 1)$ на $1$ .

$1 = (A) (y - 1) + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A y + A \cdot - 1 + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.6.3

Перенесем $- 1$ влево от $A$ .

$1 = A y - 1 \cdot A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.6.4

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$1 = A y - A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.6.5

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = A y - A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Этап 2.2.1.1.6.5.2

Разделим $(B) (y + 1)$ на $1$ .

$1 = A y - A + (B) (y + 1)$

Этап 2.2.1.1.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A y - A + B y + B \cdot 1$

Этап 2.2.1.1.6.7

Умножим $B$ на $1$ .

$1 = A y - A + B y + B$

Этап 2.2.1.1.7

Перенесем $- A$ .

$1 = A y + B y - A + B$

Этап 2.2.1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $y$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 2.2.1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $y$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 1 A + B$

Этап 2.2.1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Этап 2.2.1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Решим относительно $A$ в $0 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Этап 2.2.1.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Этап 2.2.1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = - 1 A + B$ на $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1

Упростим $- 1 (- B) + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1.1

Умножим $- 1 (- B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.2.2.1.1.2

Умножим $B$ на $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.2.2.1.2

Добавим $B$ и $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.3

Решим относительно $B$ в $1 = 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.3.2

Разделим каждый член $2 B = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.2.1

Разделим каждый член $2 B = 1$ на $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.3.2.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Этап 2.2.1.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{1}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = - B$ на $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.1.3.5

Перечислим все решения.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{y + 1} + \frac{B}{y - 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{y + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Этап 2.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Этап 2.2.1.5.2

Умножим $\frac{1}{y + 1}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(y + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Этап 2.2.1.5.3

Перенесем $2$ влево от $y + 1$ .

$- \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Этап 2.2.1.5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y - 1}$

Этап 2.2.1.5.5

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{y - 1}$ .

$\int - \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - \frac{1}{2 (y + 1)} d y + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{2 (y + 1)} d y + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{y + 1} d y) + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.5

Пусть $u_{1} = y + 1$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Пусть $u_{1} = y + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Дифференцируем $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 2.2.5.1.2

По правилу суммы производная $y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.6

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.8

Пусть $u_{2} = y - 1$ . Тогда $d u_{2} = d y$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Пусть $u_{2} = y - 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1.1

Дифференцируем $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Этап 2.2.8.1.2

По правилу суммы производная $y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.8.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.9

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.10

Упростим.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.11

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y + 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.11.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y - 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) = \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Объединим $\ln (| y + 1 |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) = \ln (| x |) + C$

Этап 3.1.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| y - 1 |)$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = \ln (| x |) + C$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = \ln (| x |) + C$ умножим на $2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = \ln (| x |) + C$ на $2$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2}$ в числитель.

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$- \ln (| y + 1 |) + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- \ln (| y + 1 |) + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Перенесем $2$ влево от $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = 2 \cdot \ln (| x |) + C \cdot 2$

Этап 3.2.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $C$ .

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Этап 3.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Этап 3.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим $- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - 2 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Упростим $- 2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Этап 3.4.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

Этап 3.4.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Этап 3.5

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})} = e^{2 C + \ln (| y + 1 |)}$

Этап 3.6

Перепишем $\ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}}) = 2 C + \ln (| y + 1 |)$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2 C + \ln (| y + 1 |)} = \frac{| y - 1 |}{x^{2}}$

Этап 3.7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{2 C + \ln (| y + 1 |)}) = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

Этап 3.7.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Развернем $\ln (e^{2 C + \ln (| y + 1 |)})$ , вынося $2 C + \ln (| y + 1 |)$ из логарифма.

$(2 C + \ln (| y + 1 |)) \ln (e) = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

Этап 3.7.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(2 C + \ln (| y + 1 |)) \cdot 1 = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

Этап 3.7.2.3

Умножим $2 C + \ln (| y + 1 |)$ на $1$ .

$2 C + \ln (| y + 1 |) = \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}})$

Этап 3.7.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (\frac{| y - 1 |}{x^{2}}) = - 2 C$

Этап 3.7.4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{\frac{| y - 1 |}{x^{2}}}) = - 2 C$

Этап 3.7.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (| y + 1 | (\frac{x^{2}}{| y - 1 |})) = - 2 C$

Этап 3.7.6

Объединим $| y + 1 |$ и $\frac{x^{2}}{| y - 1 |}$ .

$\ln (\frac{| y + 1 | x^{2}}{| y - 1 |}) = - 2 C$

Этап 3.7.7

Изменим порядок множителей в $\ln (\frac{| y + 1 | x^{2}}{| y - 1 |})$ .

$\ln (\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |}) = - 2 C$

Этап 3.7.8

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |})} = e^{- 2 C}$

Этап 3.7.9

Перепишем $\ln (\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |}) = - 2 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = \frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |}$

Этап 3.7.10

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} = e^{- 2 C}$ .

$\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} = e^{- 2 C}$

Этап 3.7.10.2

Умножим обе части на $| y - 1 |$ .

$\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} | y - 1 | = e^{- 2 C} | y - 1 |$

Этап 3.7.10.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.3.1

Сократим общий множитель $| y - 1 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} | y + 1 |}{| y - 1 |} | y - 1 | = e^{- 2 C} | y - 1 |$

Этап 3.7.10.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} | y + 1 | = e^{- 2 C} | y - 1 |$

Этап 3.7.10.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.1

Перепишем уравнение в виде $e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$ .

$e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$

Этап 3.7.10.4.2

Разделим каждый член $e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$ на $e^{- 2 C}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.2.1

Разделим каждый член $e^{- 2 C} | y - 1 | = x^{2} | y + 1 |$ на $e^{- 2 C}$ .

$\frac{e^{- 2 C} | y - 1 |}{e^{- 2 C}} = \frac{x^{2} | y + 1 |}{e^{- 2 C}}$

Этап 3.7.10.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.2.2.1

Сократим общий множитель $e^{- 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- 2 C} | y - 1 |}{e^{- 2 C}} = \frac{x^{2} | y + 1 |}{e^{- 2 C}}$

Этап 3.7.10.4.2.2.1.2

Разделим $| y - 1 |$ на $1$ .

$| y - 1 | = \frac{x^{2} | y + 1 |}{e^{- 2 C}}$

Этап 3.7.10.4.3

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$y - 1 = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$y - 1 = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$- (y - 1) = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$- (y - 1) = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

Этап 3.7.10.4.4

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$y - 1 = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

$y - 1 = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$

Этап 3.7.10.4.5

Решим $y - 1 = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.5.1

Умножим обе части на $e^{- 2 C}$ .

$(y - 1) e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Этап 3.7.10.4.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.5.2.1.1

Упростим $(y - 1) e^{- 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y e^{- 2 C} - 1 e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Этап 3.7.10.4.5.2.1.1.2

Перепишем $- 1 e^{- 2 C}$ в виде $- e^{- 2 C}$ .

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Этап 3.7.10.4.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.5.2.2.1

Упростим $\frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель $e^{- 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.5.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Этап 3.7.10.4.5.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = x^{2} (y + 1)$

Этап 3.7.10.4.5.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = x^{2} y + x^{2} \cdot 1$

Этап 3.7.10.4.5.2.2.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = x^{2} y + x^{2}$

Этап 3.7.10.4.5.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.5.3.1

Вычтем $x^{2} y$ из обеих частей уравнения.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} - x^{2} y = x^{2}$

Этап 3.7.10.4.5.3.2

Добавим $e^{- 2 C}$ к обеим частям уравнения.

$y e^{- 2 C} - x^{2} y = x^{2} + e^{- 2 C}$

Этап 3.7.10.4.5.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y e^{- 2 C} - x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.5.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y e^{- 2 C}$ .

$y e^{- 2 C} - x^{2} y = x^{2} + e^{- 2 C}$

Этап 3.7.10.4.5.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- x^{2} y$ .

$y e^{- 2 C} + y (- x^{2}) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Этап 3.7.10.4.5.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y e^{- 2 C} + y (- x^{2})$ .

$y (e^{- 2 C} - x^{2}) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Этап 3.7.10.4.5.3.4

Перепишем $e^{- 2 C}$ в виде ${(e^{- C})}^{2}$ .

$y ({(e^{- C})}^{2} - x^{2}) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Этап 3.7.10.4.5.3.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.5.3.5.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = e^{- C}$ и $b = x$ .

$y ((e^{- C} + x) (e^{- C} - x)) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Этап 3.7.10.4.5.3.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x) = x^{2} + e^{- 2 C}$

Этап 3.7.10.4.5.3.6

Разделим каждый член $y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x) = x^{2} + e^{- 2 C}$ на $(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.5.3.6.1

Разделим каждый член $y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x) = x^{2} + e^{- 2 C}$ на $(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)$ .

$\frac{y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Этап 3.7.10.4.5.3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.5.3.6.2.1

Сократим общий множитель $e^{- C} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.5.3.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Этап 3.7.10.4.5.3.6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y (e^{- C} - x)}{e^{- C} - x} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Этап 3.7.10.4.5.3.6.2.2

Сократим общий множитель $e^{- C} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.5.3.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (e^{- C} - x)}{e^{- C} - x} = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Этап 3.7.10.4.5.3.6.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

Этап 3.7.10.4.6

Решим $y - 1 = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.6.1

Умножим обе части на $e^{- 2 C}$ .

$(y - 1) e^{- 2 C} = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Этап 3.7.10.4.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.6.2.1.1

Упростим $(y - 1) e^{- 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.6.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y e^{- 2 C} - 1 e^{- 2 C} = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Этап 3.7.10.4.6.2.1.1.2

Перепишем $- 1 e^{- 2 C}$ в виде $- e^{- 2 C}$ .

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Этап 3.7.10.4.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.6.2.2.1

Упростим $- \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель $e^{- 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.6.2.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}}$ в числитель.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{- x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Этап 3.7.10.4.6.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = \frac{- x^{2} (y + 1)}{e^{- 2 C}} e^{- 2 C}$

Этап 3.7.10.4.6.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - x^{2} (y + 1)$

Этап 3.7.10.4.6.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - x^{2} y - x^{2} \cdot 1$

Этап 3.7.10.4.6.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} = - x^{2} y - x^{2}$

Этап 3.7.10.4.6.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.6.3.1

Добавим $x^{2} y$ к обеим частям уравнения.

$y e^{- 2 C} - e^{- 2 C} + x^{2} y = - x^{2}$

Этап 3.7.10.4.6.3.2

Добавим $e^{- 2 C}$ к обеим частям уравнения.

$y e^{- 2 C} + x^{2} y = - x^{2} + e^{- 2 C}$

Этап 3.7.10.4.6.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y e^{- 2 C} + x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.6.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y e^{- 2 C}$ .

$y e^{- 2 C} + x^{2} y = - x^{2} + e^{- 2 C}$

Этап 3.7.10.4.6.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y$ .

$y e^{- 2 C} + y x^{2} = - x^{2} + e^{- 2 C}$

Этап 3.7.10.4.6.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y e^{- 2 C} + y x^{2}$ .

$y (e^{- 2 C} + x^{2}) = - x^{2} + e^{- 2 C}$

Этап 3.7.10.4.6.3.4

Разделим каждый член $y (e^{- 2 C} + x^{2}) = - x^{2} + e^{- 2 C}$ на $e^{- 2 C} + x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.6.3.4.1

Разделим каждый член $y (e^{- 2 C} + x^{2}) = - x^{2} + e^{- 2 C}$ на $e^{- 2 C} + x^{2}$ .

$\frac{y (e^{- 2 C} + x^{2})}{e^{- 2 C} + x^{2}} = \frac{- x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}} + \frac{e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Этап 3.7.10.4.6.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.6.3.4.2.1

Сократим общий множитель $e^{- 2 C} + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.6.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (e^{- 2 C} + x^{2})}{e^{- 2 C} + x^{2}} = \frac{- x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}} + \frac{e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Этап 3.7.10.4.6.3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}} + \frac{e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Этап 3.7.10.4.6.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.6.3.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- x^{2} + e^{- 2 C}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Этап 3.7.10.4.6.3.4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.10.4.6.3.4.3.2.1

Перепишем $e^{- 2 C}$ в виде ${(e^{- C})}^{2}$ .

$y = \frac{- x^{2} + {(e^{- C})}^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Этап 3.7.10.4.6.3.4.3.2.2

Изменим порядок $- x^{2}$ и ${(e^{- C})}^{2}$ .

$y = \frac{{(e^{- C})}^{2} - x^{2}}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Этап 3.7.10.4.6.3.4.3.2.3

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Этап 3.7.10.4.7

Перечислим все решения.

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

$y = \frac{x^{2}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)} + \frac{e^{- 2 C}}{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}$

$y = \frac{(e^{- C} + x) (e^{- C} - x)}{e^{- 2 C} + x^{2}}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{x^{2}}{(C + x) (C - x)} + \frac{C}{(C + x) (C - x)}$

$y = \frac{(C + x) (C - x)}{C + x^{2}}$