Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \tan (x) \cos^{2} (y)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\tan (x) \cos^{2} (y))$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $\cos^{2} (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $\cos^{2} (y)$ из $\tan (x) \cos^{2} (y)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \tan (x))$

Этап 1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \tan (x))$

Этап 1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

Этап 1.2.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 1.2.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \tan (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \tan (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ в $\sec^{2} (y)$ .

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \tan (x) d x$

Этап 2.2.2

Поскольку производная $\tan (y)$ равна $\sec^{2} (y)$ , интеграл $\sec^{2} (y)$ равен $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \tan (x) d x$

Этап 2.3

Интеграл $\tan (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\tan (y) = \ln (| \sec (x) |) + C$

Этап 3

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из тангенса.

$y = \arctan (\ln (| \sec (x) |) + C)$