Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{{(6 + x)}^{2}}$ , $y (0) = 6$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{{(6 + x)}^{2}} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 6 + x$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 6 + x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $6 + x$ .

$\frac{d}{d x} [6 + x]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $6 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.1.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.3.2.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 2.3.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = 7 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 2.3.3.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 7 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = 7 \int u^{- 2} d u$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 7 (- u^{- 1} + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Перепишем $7 (- u^{- 1} + C_{2})$ в виде $7 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$y + C_{1} = - 7 \frac{1}{u} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.2

Объединим $- 7$ и $\frac{1}{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 7}{u} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = - \frac{7}{u} + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $6 + x$ .

$y + C_{1} = - \frac{7}{6 + x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $6$ вместо $y$ в $y = - \frac{7}{6 + x} + K$ .

$6 = - \frac{7}{6 + 0} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{7}{6 + 0} + K = 6$ .

$- \frac{7}{6 + 0} + K = 6$

Этап 4.2

Добавим $6$ и $0$ .

$- \frac{7}{6} + K = 6$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $\frac{7}{6}$ к обеим частям уравнения.

$K = 6 + \frac{7}{6}$

Этап 4.3.2

Чтобы записать $6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$K = 6 \cdot \frac{6}{6} + \frac{7}{6}$

Этап 4.3.3

Объединим $6$ и $\frac{6}{6}$ .

$K = \frac{6 \cdot 6}{6} + \frac{7}{6}$

Этап 4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$K = \frac{6 \cdot 6 + 7}{6}$

Этап 4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $6$ на $6$ .

$K = \frac{36 + 7}{6}$

Этап 4.3.5.2

Добавим $36$ и $7$ .

$K = \frac{43}{6}$

Этап 5

Подставим $\frac{43}{6}$ вместо $K$ в $y = - \frac{7}{6 + x} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $\frac{43}{6}$ вместо $K$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} + \frac{43}{6}$

Этап 5.2

Чтобы записать $- \frac{7}{6 + x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{43}{6}$

Этап 5.3

Чтобы записать $\frac{43}{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6 + x}{6 + x}$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{43}{6} \cdot \frac{6 + x}{6 + x}$

Этап 5.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(6 + x) \cdot 6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $\frac{7}{6 + x}$ на $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{7 \cdot 6}{(6 + x) \cdot 6} + \frac{43}{6} \cdot \frac{6 + x}{6 + x}$

Этап 5.4.2

Умножим $\frac{43}{6}$ на $\frac{6 + x}{6 + x}$ .

$y = - \frac{7 \cdot 6}{(6 + x) \cdot 6} + \frac{43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

Этап 5.4.3

Изменим порядок множителей в $(6 + x) \cdot 6$ .

$y = - \frac{7 \cdot 6}{6 (6 + x)} + \frac{43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

Этап 5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 7 \cdot 6 + 43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

Этап 5.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Умножим $- 7$ на $6$ .

$y = \frac{- 42 + 43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

Этап 5.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{- 42 + 43 \cdot 6 + 43 x}{6 (6 + x)}$

Этап 5.6.3

Умножим $43$ на $6$ .

$y = \frac{- 42 + 258 + 43 x}{6 (6 + x)}$

Этап 5.6.4

Добавим $- 42$ и $258$ .

$y = \frac{216 + 43 x}{6 (6 + x)}$