Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \ln (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \ln (x) d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \ln (x) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = 1$ .

$y + C_{1} = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{1} = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Этап 2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \ln (x) x - \int d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \ln (x) x - (x + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

$y + C_{1} = \ln (x) x - x + C_{2}$

Этап 2.3.5

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = x \ln (x) - x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = x \ln (x) - x + K$