Математический анализ Примеры

$2 w t \frac{d t}{d w} = t^{2} - 2 w^{3}$

Этап 1

Пусть $v = t^{2}$ . Подставим $v$ вместо $t^{2}$ для всех.

$2 w t \frac{d t}{d w} = v - 2 w^{3}$

Этап 2

Найдем $\frac{d v}{d w}$ , дифференцируя $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ имеет вид $f' (g (w)) g' (w)$ , где $f (w) = w^{2}$ и $g (w) = t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t$ .

$\frac{d v}{d w} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d w} [t]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 u \frac{d}{d w} [t]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $t$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 t \frac{d}{d w} [t]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d w} [t]$ в виде $t'$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 t t'$

Этап 3

Подставим производную обратно в дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2 t$ из $2 w t$ .

$2 t (w) \frac{\frac{d v}{d w}}{2 t} = v - 2 w^{3}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель.

$2 t w \frac{\frac{d v}{d w}}{2 t} = v - 2 w^{3}$

Этап 3.3

Перепишем это выражение.

$w \frac{d v}{d w} = v - 2 w^{3}$

Этап 4

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d v}{d w} + M (w) v = Q (w)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $v$ из обеих частей уравнения.

$w \frac{d v}{d w} - v = - 2 w^{3}$

Этап 4.2

Разделим каждый член $w \frac{d v}{d w} - v = - 2 w^{3}$ на $w$ .

$\frac{w \frac{d v}{d w}}{w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{w \frac{d v}{d w}}{w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

Этап 4.3.2

Разделим $\frac{d v}{d w}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $w^{3}$ и $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $w$ из $- 2 w^{3}$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w}$

Этап 4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Возведем $w$ в степень $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w^{1}}$

Этап 4.4.2.2

Вынесем множитель $w$ из $w^{1}$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w \cdot 1}$

Этап 4.4.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w \cdot 1}$

Этап 4.4.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{2}}{1}$

Этап 4.4.2.5

Разделим $- 2 w^{2}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = - 2 w^{2}$

Этап 4.5

Вынесем множитель $v$ из $\frac{- v}{w}$ .

$\frac{d v}{d w} + v \frac{- 1}{w} = - 2 w^{2}$

Этап 4.6

Изменим порядок $v$ и $\frac{- 1}{w}$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- 1}{w} v = - 2 w^{2}$

Этап 5

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (w) d w}$ , где $P (w) = \frac{- 1}{w}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{- 1}{w} d w}$

Этап 5.2

Проинтегрируем $\frac{- 1}{w}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$e^{\int - \frac{1}{w} d w}$

Этап 5.2.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $w$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{1}{w} d w}$

Этап 5.2.3

Интеграл $\frac{1}{w}$ по $w$ имеет вид $\ln (| w |)$ .

$e^{- (\ln (| w |) + C)}$

Этап 5.2.4

Упростим.

$e^{- \ln (| w |) + C}$

Этап 5.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- \ln (w)}$

Этап 5.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (w^{- 1})}$

Этап 5.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$w^{- 1}$

Этап 5.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{w}$

Этап 6

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{w}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{w} \frac{d v}{d w} + \frac{1}{w} (\frac{- 1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Этап 6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $\frac{1}{w}$ и $\frac{d v}{d w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} + \frac{1}{w} (\frac{- 1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Этап 6.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} + \frac{1}{w} (- \frac{1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Этап 6.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{1}{w} (\frac{1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Этап 6.2.4

Объединим $\frac{1}{w}$ и $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{1}{w} \cdot \frac{v}{w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Этап 6.2.5

Умножим $- \frac{1}{w} \cdot \frac{v}{w}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Умножим $\frac{v}{w}$ на $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w \cdot w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Этап 6.2.5.2

Возведем $w$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1} w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Этап 6.2.5.3

Возведем $w$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1} w^{1}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Этап 6.2.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1 + 1}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Этап 6.2.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Этап 6.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = - 2 \frac{1}{w} w^{2}$

Этап 6.4

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} w^{2}$

Этап 6.5

Сократим общий множитель $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $w$ из $w^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} (w \cdot w)$

Этап 6.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} (w \cdot w)$

Этап 6.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = - 2 w$

Этап 7

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d w} [\frac{1}{w} v] = - 2 w$

Этап 8

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d w} [\frac{1}{w} v] d w = \int - 2 w d w$

Этап 9

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{w} v = \int - 2 w d w$

Этап 10

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $w$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{w} v = - 2 \int w d w$

Этап 10.2

По правилу степени интеграл $w$ по $w$ имеет вид $\frac{1}{2} w^{2}$ .

$\frac{1}{w} v = - 2 (\frac{1}{2} w^{2} + C)$

Этап 10.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Перепишем $- 2 (\frac{1}{2} w^{2} + C)$ в виде $- 2 (\frac{1}{2}) w^{2} + C$ .

$\frac{1}{w} v = - 2 (\frac{1}{2}) w^{2} + C$

Этап 10.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{- 2}{2} w^{2} + C$

Этап 10.3.2.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} w^{2} + C$

Этап 10.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} w^{2} + C$

Этап 10.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} w^{2} + C$

Этап 10.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{w} v = \frac{- 1}{1} w^{2} + C$

Этап 10.3.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{w} v = - w^{2} + C$

Этап 11

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{w}$ и $v$ .

$\frac{v}{w} = - w^{2} + C$

Этап 11.2

Умножим обе части на $w$ .

$\frac{v}{w} w = (- w^{2} + C) w$

Этап 11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1

Сократим общий множитель $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{v}{w} w = (- w^{2} + C) w$

Этап 11.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$v = (- w^{2} + C) w$

Этап 11.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Упростим $(- w^{2} + C) w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$v = - w^{2} w + C w$

Этап 11.3.2.1.2

Умножим $w^{2}$ на $w$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1.2.1

Перенесем $w$ .

$v = - (w \cdot w^{2}) + C w$

Этап 11.3.2.1.2.2

Умножим $w$ на $w^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1.2.2.1

Возведем $w$ в степень $1$ .

$v = - (w^{1} w^{2}) + C w$

Этап 11.3.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$v = - w^{1 + 2} + C w$

Этап 11.3.2.1.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$v = - w^{3} + C w$

Этап 12

Заменим все вхождения $v$ на $t^{2}$ .

$t^{2} = - w^{3} + C w$

Этап 13

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$t = \pm \sqrt{- w^{3} + C w}$

Этап 13.2

Вынесем множитель $w$ из $- w^{3} + C w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вынесем множитель $w$ из $- w^{3}$ .

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2}) + C w}$

Этап 13.2.2

Вынесем множитель $w$ из $C w$ .

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2}) + w C}$

Этап 13.2.3

Вынесем множитель $w$ из $w (- w^{2}) + w C$ .

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

Этап 13.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

Этап 13.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

Этап 13.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$