Математический анализ Примеры

$(y^{4} - 2 x y) d x + 3 x^{2} d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y^{4} - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{4} - 2 x y]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $y^{4} - 2 x y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2 x$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 x y$ по $y$ равна $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} - 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} - 2 x \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y^{3} - 2 x$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (2 x)$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $4 y^{3} - 2 x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $6 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 y^{3} - 2 x = 6 x$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$4 y^{3} - 2 x = 6 x$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $6 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{6 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $4 y^{3} - 2 x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{6 x - (4 y^{3} - 2 x)}{M}$

Этап 4.3

Подставим $y^{4} - 2 x y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $y^{4} - 2 x y$ вместо $M$ .

$\frac{6 x - (4 y^{3} - 2 x)}{y^{4} - 2 x y}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 x - (4 y^{3}) - (- 2 x)}{y^{4} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{6 x - 4 y^{3} - (- 2 x)}{y^{4} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{6 x - 4 y^{3} + 2 x}{y^{4} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.4

Добавим $6 x$ и $2 x$ .

$\frac{- 4 y^{3} + 8 x}{y^{4} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.5

Вынесем множитель $4$ из $- 4 y^{3} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 y^{3}$ .

$\frac{4 (- y^{3}) + 8 x}{y^{4} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.5.2

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$\frac{4 (- y^{3}) + 4 (2 x)}{y^{4} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.5.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- y^{3}) + 4 (2 x)$ .

$\frac{4 (- y^{3} + 2 x)}{y^{4} - 2 x y}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{4} - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{4}$ .

$\frac{4 (- y^{3} + 2 x)}{y \cdot y^{3} - 2 x y}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- 2 x y$ .

$\frac{4 (- y^{3} + 2 x)}{y \cdot y^{3} + y (- 2 x)}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot y^{3} + y (- 2 x)$ .

$\frac{4 (- y^{3} + 2 x)}{y (y^{3} - 2 x)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $- y^{3} + 2 x$ и $y^{3} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{3}$ .

$\frac{4 (- (y^{3}) + 2 x)}{y (y^{3} - 2 x)}$

Этап 4.3.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x$ .

$\frac{4 (- (y^{3}) - (- 2 x))}{y (y^{3} - 2 x)}$

Этап 4.3.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y^{3}) - (- 2 x)$ .

$\frac{4 (- (y^{3} - 2 x))}{y (y^{3} - 2 x)}$

Этап 4.3.4.4

Перепишем $- (y^{3} - 2 x)$ в виде $- 1 (y^{3} - 2 x)$ .

$\frac{4 (- 1 (y^{3} - 2 x))}{y (y^{3} - 2 x)}$

Этап 4.3.4.5

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (- 1 (y^{3} - 2 x))}{y (y^{3} - 2 x)}$

Этап 4.3.4.6

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \cdot (- 1)}{y}$

Этап 4.3.5

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{- 4}{y}$

Этап 4.3.6

Подставим $y^{4} - 2 x y$ вместо $M$ .

$- \frac{4}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{4}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{y} d y}$

Этап 5.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 5.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| y |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 4 \ln (| y |)$ путем переноса $- 4$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 4})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 4} + C$

Этап 5.6.3

Уберем знак модуля в ${| y |}^{- 4}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = y^{- 4} + C$

Этап 5.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{4}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(y^{4} - 2 x y) d x + 3 x^{2} d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $y^{4} - 2 x y$ на $\frac{1}{y^{4}}$ .

$(y^{4} - 2 x y) \frac{1}{y^{4}} d x + 3 x^{2} d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $y^{4} - 2 x y$ на $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{y^{4} - 2 x y}{y^{4}} d x + 3 x^{2} d y = 0$

Этап 6.3

Вынесем множитель $y$ из $y^{4} - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{4}$ .

$\frac{y \cdot y^{3} - 2 x y}{y^{4}} d x + 3 x^{2} d y = 0$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $y$ из $- 2 x y$ .

$\frac{y \cdot y^{3} + y (- 2 x)}{y^{4}} d x + 3 x^{2} d y = 0$

Этап 6.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot y^{3} + y (- 2 x)$ .

$\frac{y (y^{3} - 2 x)}{y^{4}} d x + 3 x^{2} d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{4}$ .

$\frac{y (y^{3} - 2 x)}{y \cdot y^{3}} d x + 3 x^{2} d y = 0$

Этап 6.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y (y^{3} - 2 x)}{y \cdot y^{3}} d x + 3 x^{2} d y = 0$

Этап 6.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{3} - 2 x}{y^{3}} d x + 3 x^{2} d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $3 x^{2}$ на $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{y^{3} - 2 x}{y^{3}} d x + 3 x^{2} \frac{1}{y^{4}} d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $3 x^{2} \frac{1}{y^{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{y^{3} - 2 x}{y^{3}} d x + x^{2} \frac{3}{y^{4}} d y = 0$

Этап 6.6.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{3}{y^{4}}$ .

$\frac{y^{3} - 2 x}{y^{3}} d x + \frac{x^{2} \cdot 3}{y^{4}} d y = 0$

Этап 6.7

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{y^{3} - 2 x}{y^{3}} d x + \frac{3 x^{2}}{y^{4}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{3 x^{2}}{y^{4}} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = \frac{3 x^{2}}{y^{4}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $3 x^{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3 x^{2}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 3 x^{2} \int \frac{1}{y^{4}} d y$

Этап 8.2

Вынесем $y^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$f (x, y) = 3 x^{2} \int {(y^{4})}^{- 1} d y$

Этап 8.3

Перемножим экспоненты в ${(y^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} \int y^{4 \cdot - 1} d y$

Этап 8.3.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} \int y^{- 4} d y$

Этап 8.4

По правилу степени интеграл $y^{- 4}$ по $y$ имеет вид $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C)$

Этап 8.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1.1

Объединим $y^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} (- \frac{y^{- 3}}{3} + C)$

Этап 8.5.1.2

Перенесем $y^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} (- \frac{1}{3 y^{3}} + C)$

Этап 8.5.2

Упростим.

$f (x, y) = 3 x^{2} (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C$

Этап 8.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (x, y) = - 3 x^{2} \frac{1}{3 y^{3}} + C$

Этап 8.5.3.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{3 y^{3}}$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{- 3}{3 y^{3}} + C$

Этап 8.5.3.3

Объединим $x^{2}$ и $\frac{- 3}{3 y^{3}}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot - 3}{3 y^{3}} + C$

Этап 8.5.3.4

Перенесем $- 3$ влево от $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{3}} + C$

Этап 8.5.3.5

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.5.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{3}} + C$

Этап 8.5.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.3.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{3})} + C$

Этап 8.5.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{3}} + C$

Этап 8.5.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = \frac{- x^{2}}{y^{3}} + C$

Этап 8.5.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y^{3} - 2 x}{y^{3}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (x)] = \frac{y^{3} - 2 x}{y^{3}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $- \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y^{3} - 2 x}{y^{3}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $- \frac{1}{y^{3}}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x^{2}}{y^{3}}$ по $x$ равна $- \frac{1}{y^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{y^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y^{3} - 2 x}{y^{3}}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{1}{y^{3}} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y^{3} - 2 x}{y^{3}}$

Этап 11.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{y^{3}} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y^{3} - 2 x}{y^{3}}$

Этап 11.3.4

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{- 2}{y^{3}} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y^{3} - 2 x}{y^{3}}$

Этап 11.3.5

Объединим $\frac{- 2}{y^{3}}$ и $x$ .

$\frac{- 2 x}{y^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y^{3} - 2 x}{y^{3}}$

Этап 11.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x}{y^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y^{3} - 2 x}{y^{3}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{2 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y^{3} - 2 x}{y^{3}}$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{y^{3} - 2 x}{y^{3}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Вычтем $\frac{y^{3} - 2 x}{y^{3}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 x}{y^{3}} - \frac{y^{3} - 2 x}{y^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - (y^{3} - 2 x)}{y^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - y^{3} - (- 2 x)}{y^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.3.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - y^{3} + 2 x}{y^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.4

Объединим противоположные члены в $- 2 x - y^{3} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.4.1

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + 0}{y^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.4.2

Добавим $- y^{3}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3}}{y^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.5

Сократим общий множитель $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3}}{y^{3}} = 0$

Этап 12.1.1.5.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 1 = 0$

Этап 12.1.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 1$

Этап 13

Найдем первообразную $1$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Этап 13.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (x) = x + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y^{3}} + x + C$