Математический анализ Примеры

$5 \frac{d y}{d x} + 2 x = 3$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$5 \frac{d y}{d x} = 3 - 2 x$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $5 \frac{d y}{d x} = 3 - 2 x$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $5 \frac{d y}{d x} = 3 - 2 x$ на $5$ .

$\frac{5 \frac{d y}{d x}}{5} = \frac{3}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \frac{d y}{d x}}{5} = \frac{3}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{5} - \frac{2 x}{5}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = (\frac{3}{5} - \frac{2 x}{5}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{3}{5} - \frac{2 x}{5} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{3}{5} - \frac{2 x}{5} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int \frac{3}{5} d x + \int - \frac{2 x}{5} d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x + C_{2} + \int - \frac{2 x}{5} d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x + C_{2} - \int \frac{2 x}{5} d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{2}{5}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{5}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x + C_{2} - (\frac{2}{5} \int x d x)$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x + C_{2} - \frac{2}{5} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2}{2 \cdot 5} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2

Умножим $2$ на $5$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2}{10} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.3

Сократим общий множитель $2$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2 (1)}{10} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{1}{5} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{3}{5} x - \frac{1}{5} x^{2} + K$